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【题目】如图1,抛物线y=[x22+n]x轴交于点Am20)和B2m+30)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连结BC

1)求mn的值;

2)如图2,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CNBN.求△NBC面积的最大值;

3)如图3,点MP分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PMPC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1m=1n=﹣9;(2;(3)存在,P点坐标为(0)或(0).

【解析】

1)利用抛物线的解析式确定对称轴为直线x=2,再利用对称性得到2﹣m﹣2=2m+3﹣2,解方程可得m的值,从而得到A﹣10),B50),然后把A点坐标代入y=﹣[x﹣22+n]可求出n的值;

2)作ND∥y轴交BCD,如图2,利用抛物线解析式确定C03),再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+3,设Nxx2+x+3),则Dxx+3),根据三角形面积公式,利用SNBC=SNDC+SNDB可得SBCN=﹣x2+x,然后利用二次函数的性质求解;

3)先利用勾股定理计算出BC=,再分类讨论:当∠PMB=90°,则∠PMC=90°△PMC为等腰直角三角形,MP=MC,设PM=t,则CM=tMB=﹣t,证明△BMP∽△BOC,利用相似比可求出BP的长,再计算OP后可得到P点坐标;当∠MPB=90°,则MP=MC,设PM=t,则CM=tMB=﹣t,证明△BMP∽△BCO,利用相似比可求出BP的长,再计算OP后可得到P点坐标.

解:(1抛物线的解析式为y=﹣[x﹣22+n]=﹣x﹣22n

抛物线的对称轴为直线x=2

A和点B为对称点,

∴2﹣(m2=2m+32,解得m=1

∴A(﹣10),B50),

A﹣10)代入y=﹣[x﹣22+n]9+n=0,解得n=﹣9

2)作ND∥y轴交BCD,如图2

抛物线解析式为y=﹣[x﹣22﹣9]=﹣x2+x+3

x=0时,y=3,则C03),

设直线BC的解析式为y=kx+b

B50),C03)代入得,解得

直线BC的解析式为y=﹣x+3

Nxx2+x+3),则Dxx+3),

∴ND=﹣x2+x+3﹣x+3=﹣x2+3x

∴SNBC=SNDC+SNDB=5ND=﹣x2+x=﹣x﹣2+

x=时,△NBC面积最大,最大值为

3)存在.

∵B50),C03),/p>

由勾股定理得BC=

∠PMB=90°,则∠PMC=90°△PMC为等腰直角三角形,MP=MC

PM=t,则CM=tMB=﹣t

∵∠MBP=∠OBC

∴△BMP∽△BOC

,即,解得t=BP=

∴OP=OB﹣BP=5﹣

此时P点坐标为(0);

∠MPB=90°,则MP=MC

PM=t,则CM=tMB=﹣t

∵∠MBP=∠CBO

∴△BMP∽△BCO

,即,解得t=BP=

∴OP=OB﹣BP=5﹣

此时P点坐标为(0);

综上所述,P点坐标为(0)或(0).

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借阅图书的次数

0

1

2

3

4次以上

人数

7

13

10

3

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1________________________

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