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【题目】数学活动课上,某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCDBAD=120°)进行探究:将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段ABAD于点EF(不包括线段的端点).

(1)初步尝试

如图1,若AD=AB,求证:①△BCE≌△ACFAE+AF=AC

(2)类比发现

如图2,若AD=2AB,过点CCHAD于点H,求证:AE=2FH

(3)深入探究

如图3,若AD=3AB,探究得:的值为常数t,则t=____.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)

【解析】

1先证明△ABC△ACD都是等边三角形,再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题.根据的结论得到BE=AF,由此即可证明.(2)设DH=x,由由题意,CD=2xCH=x,由△ACE∽△HCF,得

由此即可证明;(3)如图3中,作CN⊥ADNCM⊥BAMCMAD交于点H.先证明△CFN∽△CEM,得,由ABCM=ADCNAD=3AB,推出CM=3CN,所以,设CN=aFN=b,则CM=3aEM=3b,想办法求出ACAE+3AF即可解决问题.

解:(1①∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=120°

∴∠D=∠B=60° ∵AD=AB

∴△ABC△ACD都是等边三角形,

∴∠B=∠CAD=60°∠ACB=60°BC=AC

∵∠ECF=60°

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60° ∴∠BCE=∠ACF

△BCE△ACF中,

∴△BCE≌△ACF

②∵△BCE≌△ACF

∴BE=AF

∴AE+AF=AE+BE=AB=AC

2)设DH=x,由由题意,CD=2xCH=x

∴AD=2AB=4x ∴AH=ADDH=3x

∵CH⊥AD

∴AC==2x

∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°∴∠BAC=∠ACD=90°∴∠CAD=30°

∴∠ACH=60°

∵∠ECF=60°

∴∠HCF=∠ACE ∴△ACE∽△HCF=2

∴AE=2FH

3)如图3中,作CN⊥ADNCM⊥BAMCMAD交于点H

∵∠ECF+∠EAF=180°

∴∠AEC+∠AFC=180°

∵∠AFC+∠CFN=180°

∴∠CFN=∠AEC

∵∠M=∠CNF=90° ∴△CFN∽△CEM

∵ABCM=ADCNAD=3AB ∴CM=3CN

,设CN=aFN=b,则CM=3aEM=3b

∵∠MAH=60°∠M=90° ∴∠AHM=∠CHN=30° ∴HC=2aHM=aHN=a

∴AM=aAH=a∴AC=a

AE+3AF=EMAM+3AH+HNFN=EMAM+3AH+3HN3FN=3AH+3HNAM=a

=

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A.

B.

C.

D.

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