Question

【题目】如图，如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N求线段MN的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-5x+4；（2）点p的坐标为(,)、(,),(-)、(，2+),或(，2-)．

【解析】试题分析：

（1）把点B、C的坐标代入列出方程组，解方程组求得的值即可得到二次函数的解析式；

（2）由点B、C的坐标可求出直线BC的解析式，设点M的横坐标为m，由此可用含m的代数式表示出点M、N的纵坐标，从而可用含m的式子表达出MN的长度，由点M在轴下方可求得m的取值范围为： ，由此即可求出线段MN的最大值；

（3）由题意结合（2）可得点N的坐标，由点P在抛物线对称轴上，可设其坐标为(2.5，n)，结合点B和点N的坐标即可表达出PB、PN、BN的长度，再分PB=PN、PB=BN、PN=BN三种情况讨论计算即可求得符合题意的点P的坐标.

试题解析：

（1）将点B（4，0）、C（0，4）代入抛物线y=x2+bx+c中，

得，得，

∴抛物线的解析式为y=x2-5x+4.

（2）由题意可设点M的坐标为（m，m2-5m+4），设直线BC的解析式为y=kx+4，

把点（4，0）代入y=kx+4，中，

得：0=4k+4，解得：k=-1，

∴直线BC的解析式为y=-x+4.

∵MN∥y轴，

∴点N的坐标为（m，-m+4），

∴MN==-m+4-(m2-5m+4)=-（m-2）2+4.

∵抛物线的解析式为：y=x2-5x+4=（x-2.5）2，

∴抛物线的对称轴为x=2.5，

∴由点B的坐标为（4，0）可得点A的坐标为（1，0），

又∵点M在x轴下方，

∴1<m<4.

∴当m=2时，MN最大=4.

（3）由（2）可得：当m=2时，点N的坐标为（2，2），

∵点P在抛物线的对称轴上，

∴可设点P坐标为（2.5，n）,

∴PB=，PN== ,

BN==2 ,

若为等腰三角形，则存在以下三种情况：

①当时，即

解得： ，此时点的坐标为(， )；

②当时，即 =2 ，解得： ，

此时点的坐标为(， )或(， )；

③当时，即 =2 ，解得： ，

此时点的坐标为(,2+)或(,2)．

综上可知：在抛物线的对称轴上存在点，使是等腰三角形，点P的坐标为(,)、(,),(-)、(，2+),或(，2-)．