Question

【题目】在平面直角坐标系中，四边形的矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点旋转后的对应点分别为，直线、直线分别与直线相交于点，.记旋转角为.

（Ⅰ）如图①，当矩形的顶点落在轴正半轴上时，

（1）求证：；

（2）求点的坐标.

（Ⅱ）如图②，当矩形的顶点落在直线上时，

（1）求证：.

（2）求点的坐标.

（Ⅲ）在矩形旋转过程中，当时，若，请直接写出此时点 的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（1）见解析；（2）点 的坐标为 ； （Ⅱ）（1）见解析；（2）点的坐标为；（Ⅲ）点的坐标为或

【解析】

（Ⅰ）（1）由题意得∠B’CQ=∠C’即可求解；

（2）由题可得OA=8，OC=6. B’C’=BC=8,OC’=OC=6；由（1）知△B’CQ∽△B’C’O即可求解；

（Ⅱ）（1）由题意知A’B’=AB=OC，∠BCO=∠B’CO=∠A’=90，易得三角形全等；

（2）设CP=x，由（1）知△PCO≌△PA’B’，易得CP长即可求出P点坐标；

（3）分情况讨论：1°当P在BQ上时，由勾股定理易得PC长度即可求解;

2°当P在QB延长线上时，由勾股定理易得PC长度，即可求解.

（Ⅰ）（1）证明：根据题意，知∠B’CQ=∠BCO=90°，∠BCO=∠C’=90°，

∴∠B’CQ=∠C’=90°.

又∵∠QB’C=∠OB’C’

∴△B’CQ∽△B’C’O.

（2）解：∵点A（-8,0）C（0，6），∴OA=8，OC=6.

∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=8.

根据题意，知B’C’=BC=8,OC’=OC=6.

∴OB’=10,B’C=OB’-OC=4.

由（1）知△B’CQ∽△B’C’O，∴，即.∴CQ=3.

∴点Q的坐标为（3,6）.

（Ⅱ）（1）证明：由题意知A’B’=AB=OC，∠BCO=∠B’CO=∠A’=90°，

又∵∠CPO=∠A’PB’∴ △PCO≌△PA’B’.

（2）解：根据题意，知A’O=AO=8.

设CP=x，由（1）知△PCO≌△PA’B’，

∴A’P=CP=x,A’B’=OC=6,PB’=PO=A’O-A’P=8-x.

在Rt△PA’B’中，，即，

解得x=，∴CP=.

∴点P的坐标为（，6）.

（Ⅲ）对于△PQO，PQ边上的高CO等于PO边上的高C’O

设BP=n

1°当P在BQ上时，∵BQ=2BP∴BP=PQ=n

在Rt△PCO中，由勾股定理得解得

∴PC=BC-BP=8-=故P点坐标为（，6）

2°当P在QB的延长线上时，∵BQ=2BP∴PQ= 3BP=3n

在Rt△PCO中，由勾股定理得解得或（舍）

∴PC=BC+BP=8+=故P点坐标为（-9-，6）

综上所述，点P的坐标为（-9-，6）或（，6）.