【题目】如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,点与点关于轴对称,点为轴的正半轴上一动点.以为边作等腰直角三角形,,点在第一象限内.连接,交轴于点.
(Ⅰ)用含的式子表示点的坐标;
(Ⅱ)在点运动的过程中,判断的长是否发生变化?若不变求出其值,若变化请说明理由;
(Ⅲ)过点作,垂足为点,请直接写出与之间的数量关系式.
【答案】(1) G(4+m,m)
(2) OF=4,OF是不变化的
(3) 是CG的两倍
【解析】
(1)过D点作x轴垂线,垂足为G点,可知△CDG相似△OAC,即可求出D点坐标.
(2)利用B,D两点的坐标给出直线BD的解析式,然后令解析式的y=0,给出x的值,如果x含有参数,则OF的长是变化的,若x不含参数,则OF的长无变化.
(3)用含m的式子表示出和CG的长,结果就出来了,其中的长利用△DFG相似△OBF可求,CG的长直接利用勾股定理可求.
解:(1) 过D点作x轴垂线,垂足为H点,
∵,
∴
∵,
∴ ,
又∵,AC=CD,
∴在△OAC和△CDH,
,
∴CH=OA,DH=OC=m,
∴OH=4+m,
∴D(4+m,m).
(2)设BD直线的解析式为:y=kx+b,
将点B(0,-4)与点D(4+m,m)代入方程,
,
解得: ,
BD的直线解析式为 ,当y=0时,x=4 ,OF=4,OF是不变化的;
(3)可知△DFH相似△OBF,∴,由 B(0,-4)与点D(4+m,m),可以知道BD=,∴BF=, DF= ,=,
∴是CG的两倍.
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【题目】中华文化,源远流长,在文学方面,《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表,被称为“四大古典名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况,就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查,根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图,请结合图中信息解决下列问题:
(1)本次调查了 名学生,扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为 度,并补全条形统计图;
(2)此中学共有1600名学生,通过计算预估其中4部都读完了的学生人数;
(3)没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大固定名著中各自随机选择一部来阅读,求他们选中同一名著的概率.
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【题目】某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运动会射击比赛,在选拔比赛中,每人射击10次,他们10次成绩的平均数及方差如下表所示:
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均数/环 | 9.5 | 9.5 | 9.6 | 9.6 |
方差/环2 | 5.1 | 4.7 | 4.5 | 5.1 |
请你根据表中数据选一人参加比赛,最合适的人选是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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【题目】已知抛物线与轴只有一个交点,以下四个结论:①抛物线的对称轴在轴左侧;②关于的方程有实数根;③;④的最大值为1.其中结论正确的为( )
A.①②③B.③④C.①③D.①③④
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【题目】如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数是
A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
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【题目】在平面直角坐标系中,四边形的矩形,点,点,点.以点为中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点旋转后的对应点分别为,直线、直线分别与直线相交于点,.记旋转角为.
(Ⅰ)如图①,当矩形的顶点落在轴正半轴上时,
(1)求证:;
(2)求点的坐标.
(Ⅱ)如图②,当矩形的顶点落在直线上时,
(1)求证:.
(2)求点的坐标.
(Ⅲ)在矩形旋转过程中,当时,若,请直接写出此时点 的坐标.
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【题目】解不等式组
请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得_____________________;
(Ⅱ)解不等式②,得_____________________;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(Ⅳ)原不等式组的解集为_____________________.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A(4,0),B为第一象限内一点,且为等边三角形,C为OB的中点,连接AC.
(I)如图①,求点C的坐标;
(I)如图②,将沿x轴向右平移得到,设,其中
①设与重叠部分的面积为S,用含m的式子表示S:
②连接,当取最小值时,求点E的坐标(直接写出结果即可).
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