【题目】如图,平行四边形的对角线、相交于点,点是边的延长线上一点,且,连接.
(1)求证:;
(2)如果,求证:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)由平行四边形的性质得到BO=OD,由等量代换推出OE=OD,根据平行四边形的判定即可得到结论;
(2)根据等角的余角相等,得到∠CEO=∠CDE,从而可证∠DBE=∠CDE,推出△BDE∽△CDE,即可得到结论.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=OD,
∵OE=OB,
∴OE=OD,
∴∠OBE=∠OEB,∠OED=∠ODE,
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°,
∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°,
∴DE⊥BE;
(2)∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠CEO=∠CDE,
∵OB=OE,
∴∠DBE=∠CDE,
∵∠BED=∠BED,
∴△BDE∽△DCE,
∴,
∵BD=2OB=2OE,
∴.
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【题目】某校为了预测九年级男生“排球30秒”对墙垫球的情况,从本校九年级随机抽取了n名男生进行该项目测试,并绘制出如下的频数分布直方图,其中从左到右依次分为七个组(每组含最小值,不含最大值).根据统计图提供的信息解答下列问题:
(1)求n的值.
(2)这个样本数据的中位数落在第几组?
(3)若测试九年级男生“排球30秒”对墙垫球个数不低于10个为合格,根据统计结果,估计该校九年级450名男同学成绩合格的人数.
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【题目】如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,E在AD上,且CE平分∠BCD,BE平分∠ABC,则下列关系式中成立的有( )
① ; ② ; ③;④CE2=CD×BC; ⑤BE2=AE×BC
A.2个B.3个C.4个D.5个
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【题目】如图,一次函数与反比例函数的图象交于A(1,4),B(4,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出当x>0时,的解集.
(3)点P是x轴上的一动点,试确定点P并求出它的坐标,使PA+PB最小.
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【题目】如图,在中,,,以为项点作等腰直角三角形,使,连接,射线交于点.
图1 图2
(1)如图1,若点、、在一条直线上,
①求证:;
②若,,求的长;
(2)如图2,若,,将绕点顺时针旋转一周,在旋转过程中射线交于点,当三角形是直角三角形时,请你直接写出的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,点与点关于轴对称,点为轴的正半轴上一动点.以为边作等腰直角三角形,,点在第一象限内.连接,交轴于点.
(Ⅰ)用含的式子表示点的坐标;
(Ⅱ)在点运动的过程中,判断的长是否发生变化?若不变求出其值,若变化请说明理由;
(Ⅲ)过点作,垂足为点,请直接写出与之间的数量关系式.
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【题目】如图1,抛物线C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.已知点A的坐标为(﹣1,0),点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线C1的顶点为G.
(1)求出抛物线C1的解析式,并写出点G的坐标;
(2)如图2,将抛物线C1向下平移k(k>0)个单位,得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A′、B′,顶点为G′,当△A′B′G′是等边三角形时,求k的值:
(3)在(2)的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点,过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点,试探究在直线y=﹣1上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等,若存在,直接写出点M,N的坐标:若不存在,请说明理由.
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