Question

【题目】内接于，，连接；

（1）如图1，连接并延长交于点，连接，求证：；

（2）如图2，延长交于点H，点F为BH上一点，连接AF，若，求证：；

（3）在（2）的条件下，如图3，点E为AB上一点，点D为上一点，连接、，若，若，，，连接，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

(1)根据=得到，再证明即可得到答案；

(2)过点作，连接、，证明平分即可得到答案；

(3)延长交于，连接，先求，再根据求出，再利用勾股定理即可得到答案；

（1）∵=

∴（同弧所对圆周角相等），

∵为直径，

∴（直径所对的角是90°）

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴（内错角相等，两直线平行），

（2）过点作，连接、

∵

∴点在的垂直平分线上

∵

∴点在的垂直平分线上

∴垂直平分

在中，，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴平分，

∴，

（3）延长交于，连接，

∵，

∴

∵

∴（同弧所对的圆周角相等），

∴

∴

∴

设半径为，则，

∴

即

解得或（舍去）

∴，，

∴，

∴，，

∵

∴

连接、

∴

∴

∴

过点作于，如上图，

∴

∴

∵

∴

∴

过作于，如上图，

∴

∴

∵

∴

∴，