Question

【题目】如图1和图2，矩形ABCD中，E是AD的中点，P是BC上一点，AF∥PD，∠FPE=∠DPE．

（1）作射线PE交直线AF于点G，如图1．

①求证：AG=DP；

②若点F在AD下方，AF=2，PF=7，求DP的长．

（2）若点F在AD上方，如图2，直接写出PD，AF，PF的等量关系．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②DP=5；（2）PD=PF＋AF．

【解析】

(1)①根据平行线的性质得到∠GAE=∠PDE，∠G=∠DPE．根据全等三角形的性质即可得到结论；
②等量代换得到∠G=∠FPE．求得GF=PF=7，根据线段的和差即可得到结论；
(2)如图2，根据平行线的性质得到∠G=∠DPE，等量代换得到∠G=∠FPG，求得PF=FG，根据全等三角形的性质得到AG=PD，根据线段的和差即可得到结论．

(1)①∵AF∥PD，

∴∠GAE=∠PDE，∠G=∠DPE，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∴△AEG≌△DEP，

∴AG=DP；

②∵∠FPE=∠DPE，∠G=∠DPE，

∴∠G=∠FPE，

∴GF=PF=7．

∵AF=2，

∴AG=5．

由①AG=DP，

∴DP=5；

(2)PD=PF+AF，
理由：如图2，

∵AF∥PD，
∴∠G=∠DPE，
∵∠FPE=∠DPE，
∴∠G=∠FPG，
∴PF=FG，
∵∠AEG=∠DEP，AE=DE，
∴△AEG≌△DEP(AAS)，
∴AG=PD，
∵AG=AF+FG，
∴PD=AF+PF，

PD=PF+AF．