【题目】(知识生成)我们已经知道,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2,基于此,请解答下列问题:
(1)根据图2,写出一个代数恒等式: .
(2)利用(1)中得到的结论,解决下面的问题:若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,则a2+b2+c2= .
(3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形,y张边长为b的正方形,z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形,则x+y+z= .
(知识迁移)(4)事实上,通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式,图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体,请你根据图4中图形的变化关系,写出一个代数恒等式: .
【答案】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;(2)30;(3)9;(4)x3﹣x=(x+1)(x﹣1)x
【解析】
(1)依据正方形的面积=(a+b+c)2;正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,可得等式;
(2)依据a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2ab﹣2ac﹣2bc,进行计算即可;
(3)依据所拼图形的面积为:xa2+yb2+zab,而(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5b2+2ab,即可得到x,y,z的值.
(4)根据原几何体的体积=新几何体的体积,列式可得结论.
(1)由图2得:正方形的面积=(a+b+c)2;正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,
故答案为:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;
(2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,
∵a+b+c=10,ab+ac+bc=35,
∴102=a2+b2+c2+2×35,
∴a2+b2+c2=100﹣70=30,
故答案为:30;
(3)由题意得:(2a+b)(a+2b)=xa2+yb2+zab,
∴2a2+5ab+2b2=xa2+yb2+zab,
∴,
∴x+y+z=9,
故答案为:9;
(4)∵原几何体的体积=x3﹣1×1x=x3﹣x,
新几何体的体积=(x+1)(x﹣1)x,
∴x3﹣x=(x+1)(x﹣1)x.
故答案为:x3﹣x=(x+1)(x﹣1)x.
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【题目】对于平面图形上的任意两点,,如果经过某种变换(如:平移、旋转、轴对称等)得到新图形上的对应点,,保持,我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”.对于三种变换:
①平移、②旋转、③轴对称,
其中一定是“同步变换”的有________(填序号).
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【题目】某企业在甲地有一工厂(简称甲厂)生产某产品,2017年的年产量过万件,2018年甲厂经过技术改造,日均生产的该产品数是该厂2017年的2倍还多2件.
(1)若甲厂2018年生产200件该产品所需的时间与2017年生产99件该产品所需的时间相同,则2017年甲厂日均生产该产品多少件?
(2)由于该产品深受顾客欢迎,2019年该企业在乙地建立新厂(简称乙厂)生产该产品.乙厂的日均生产的该产品数是甲厂2017年的3倍还多4件.同年该企业要求甲、乙两厂分别生产m,n件产品(甲厂的日均产量与2018年相同),m:n=14:25,若甲、乙两厂同时开始生产,谁先完成任务?请说明理由.
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【题目】如图,在水上治安指挥塔西侧两条航线、上有两艘巡逻艇与所在航线靠近,直线、间的距离,点在点的南偏西方向上,且,在的北偏东方向上.求:
巡逻艇与塔之间的距离.(结果保留根号)
已知巡逻艇的速度每小时比巡逻艇快,当两艘巡逻艇同时到达指挥塔的正南方向时,求巡逻艇的速度.
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【题目】已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE=α,直线AE与BD交于点F.
(1)如图1所示,
①求证AE= BD
②求∠AFB (用含α的代数式表示)
(2)将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上),得到如图2所示的图形,若∠AFB= 150°,请直接写出此时对应的α的大小(不用证明)
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【题目】如图,,点是边上一点,点,是边上两点,且,作点关于的对称点点,连接,,.
(1)依题意补全图形;
(2)猜想______°,并证明;
(3)猜想线段、、的数量关系______,并证明.
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【题目】如图,一次函数y=﹣x+7的图象与正比例函数y=x的图象交于点A,点P(t,0)是x正半轴上的一个动点.
(1)点A的坐标为( , );
(2)如图1,连接PA,若△AOP是等腰三角形,求点P的坐标:
(3)如图2,过点P作x轴的垂线,分别交y=x和y=﹣x+7的图象于点B,C.是否存在正实数,使得BC=OA,若存在求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】综合与探究:
如图1,抛物线y=﹣x2+x+与x轴分别交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点.经过点A的直线l与y轴交于点D(0,﹣).
(1)求A、B两点的坐标及直线l的表达式;
(2)如图2,直线l从图中的位置出发,以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动,运动中直线l与x轴交于点E,与y轴交于点F,点A 关于直线l的对称点为A′,连接FA′、BA′,设直线l的运动时间为t(t>0)秒.探究下列问题:
①请直接写出A′的坐标(用含字母t的式子表示);
②当点A′落在抛物线上时,求直线l的运动时间t的值,判断此时四边形A′BEF的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,探究:在直线l的运动过程中,坐标平面内是否存在点P,使得以P,A′,B,E为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点P的坐标; 若不存在,请说明理由.
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