Question

【题目】综合与探究：

如图1，抛物线y=﹣x2+x+与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．经过点A的直线l与y轴交于点D（0，﹣）．

（1）求A、B两点的坐标及直线l的表达式；

（2）如图2，直线l从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，运动中直线l与x轴交于点E，与y轴交于点F，点A 关于直线l的对称点为A′，连接FA′、BA′，设直线l的运动时间为t（t＞0）秒．探究下列问题：

①请直接写出A′的坐标（用含字母t的式子表示）；

②当点A′落在抛物线上时，求直线l的运动时间t的值，判断此时四边形A′BEF的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，探究：在直线l的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P，A′，B，E为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x﹣；（2）见解析（3）存在

【解析】

（1）通过解方程﹣x2+x+＝0得A（1，0），B（3，0），然后利用待定系数法确定直线l的解析式；

（2）①作A′H⊥x轴于H，如图2，利用OA＝1，OD＝得到∠OAD＝60°，再利用平移和对称的性质得到EA＝EA′＝t，∠A′EF＝∠AEF＝60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系表示出A′H，EH即可得到A′的坐标；

②把A′（t1，t）代入y＝x2＋x＋得（t1）2＋（t1）＋＝t，解方程得到t＝2，此时A′点的坐标为（2，），E（1，0），然后通过计算得到AF＝BE＝2，A′F∥BE，从而判断四边形A′BEF为平行四边形，然后加上EF＝BE可判定四边形A′BEF为菱形；

（3）讨论：当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，利用点A′和点B的横坐标相同得到t1＝3，解方程求出t得到A′（3，），再利用矩形的性质可写出对应的P点坐标；当A′B⊥EA′，如图4，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，先确定此时A′点的坐标，然后利用点的平移确定对应P点坐标．

（1）当y=0时，﹣x2+x+=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），

设直线l的解析式为y=kx+b，

把A（﹣1，0），D（0，﹣）代入得，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣x﹣；

（2）①作A′H⊥x轴于H，如图，

∵OA=1，OD=，

∴∠OAD=60°，

∵EF∥AD，

∴∠AEF=60°，

∵点A 关于直线l的对称点为A′，

∴EA=EA′=t，∠A′EF=∠AEF=60°，

在Rt△A′EH中，EH=EA′=t，A′H=EH=t，

∴OH=OE+EH=t﹣1+t=t﹣1，

∴A′（t﹣1， t）；

②把A′（t﹣1， t）代入y=﹣x2+x+得﹣（t﹣1）2+（t﹣1）+=t，

解得t1=0（舍去），t2=2，

∴当点A′落在抛物线上时，直线l的运动时间t的值为2；

此时四边形A′BEF为菱形，理由如下：

当t=2时，A′点的坐标为（2，），E（1，0），

∵∠OEF=60°

∴OF=OE=，EF=2OE=2，

∴F（0，），

∴A′F∥x轴，

∵A′F=BE=2，A′F∥BE，

∴四边形A′BEF为平行四边形，

而EF=BE=2，

∴四边形A′BEF为菱形；

（3）存在，如图：

当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，则t﹣1=3，解得t=，则A′（3，），

∵OE=t﹣1=，

∴此时P点坐标为（，）；

当A′B⊥EA′，如图，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，

∵∠AEA′=120°，

∴∠A′EB=60°，

∴∠EBA′=30°

∴BQ=A′Q=t=t，

∴t﹣1+t=3，解得t=，

此时A′（1，），E（，0），

点A′向左平移个单位，向下平移个单位得到点E，则点B（3，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到点P，则P（，﹣），

综上所述，满足条件的P点坐标为（，）或（，﹣）．