【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣5,0),B(5,0),D(2,7),连接AD交y轴于C点.
(1)求C点的坐标;
(2)动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动,同时动点Q从C点出发也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动(当P点运动到A点时,两点都停止运动).设从出发起运动了x秒.
①请用含x的代数式分别表示P,Q两点的坐标;
②当x=2时,y轴上是否存在一点E,使得△AQE的面积与△APQ的面积相等?若存在,求E的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)C(0,5);(2)①P(5﹣x,0),Q(0,5+x);②存在,点E的坐标为:(0,18.2)或(0,﹣4.2),理由见解析
【解析】
(1)作DE⊥x轴,根据点的坐标求出AE、DE、AO,根据等腰直角三角形的性质解答即可;
(2)①根据题意、结合图形解答;
②分E在y轴的正半轴和E在y轴的负半轴两种情况,根据三角形的面积公式计算即可.
(1)作DE⊥x轴,
∵A(﹣5,0),D(2,7),
∴AE=DE=7,AO=5,
∵△CAO,△DAE为直角三角形,
∴∠CAO=45°,
∴△CAO是等腰直角三角形,
∴CO=AO=5,
∴C(0,5);
(2)①P(5﹣x,0),Q(0,5+x);
②存在.设E的坐标为(0,y)
当x=2时,△APQ=(5+3)×7÷2=28,
情况一:E在y轴的正半轴
(y﹣7)×5÷2=28
y=18.2
∴E(0,18.2)
情况二:E在y轴的负半轴
(7﹣y)×5÷2=28
y=﹣4.2
∴E(0,﹣4.2)
则点E的坐标为:(0,18.2)或(0,﹣4.2).
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【题目】如图,,点是边上一点,点,是边上两点,且,作点关于的对称点点,连接,,.
(1)依题意补全图形;
(2)猜想______°,并证明;
(3)猜想线段、、的数量关系______,并证明.
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【题目】某汽车销售公司经销某品牌A款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价2万元.如果卖出相同数量的A款汽车,去年销售额为100万元,今年销售额只有90万元.
(1)今年5月份A款汽车每辆销售多少万元?
(2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车,已知A款汽车每辆进价为8.5万元,B款汽车每辆进价为6万元,公司预计用多于100万元且少于110万元的资金购进这两款汽车共15辆,问有几种进货方案?
(3)在(2)的前提下,如果B款汽车每辆售价为12万元,为打开B款汽车的销路,公司决定每售出一辆B款汽车,奖励顾客现金1.8万元,怎样进货公司的利润最大(假设能全部卖出)?最大利润是多少?
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【题目】综合与探究:
如图1,抛物线y=﹣x2+x+与x轴分别交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点.经过点A的直线l与y轴交于点D(0,﹣).
(1)求A、B两点的坐标及直线l的表达式;
(2)如图2,直线l从图中的位置出发,以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动,运动中直线l与x轴交于点E,与y轴交于点F,点A 关于直线l的对称点为A′,连接FA′、BA′,设直线l的运动时间为t(t>0)秒.探究下列问题:
①请直接写出A′的坐标(用含字母t的式子表示);
②当点A′落在抛物线上时,求直线l的运动时间t的值,判断此时四边形A′BEF的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,探究:在直线l的运动过程中,坐标平面内是否存在点P,使得以P,A′,B,E为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点P的坐标; 若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知:关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到 达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
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【题目】如图,∠AOB=20°,点M,N分别是边OA,OB上的定点,点P,Q分别是边OB、OA上的动点,记∠MPQ=α,∠PQN=β,当MP+PQ+QN最小时,则β﹣α的值为_____.
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【题目】如图,把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形铁片上,将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°,第一次旋转至图①位置,第二次旋转至图②位置…,则正方形铁片连续旋转2017次后,点P的坐标为____________________.
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【题目】为了提高学生书写汉字的能力.增强保护汉字的意识,我区举办了“汉字听写大赛”,经选拔后有50名学生参加决赛,这50名学生同时听写50个汉字,若每正确听写出一个汉字得1分,根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表:
组别 | 成绩x分 | 频数(人数) |
第1组 | 25≤x<30 | 4 |
第2组 | 30≤x<35 | 6 |
第3组 | 35≤x<40 | 14 |
第4组 | 40≤x<45 | a |
第5组 | 45≤x<50 | 10 |
请结合图表完成下列各题:
(1)求表中a的值;
(2)请把频数分布直方图补充完整;
(3)若测试成绩不低于40分为优秀,则本次测试的优秀率是多少?
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