Question

【题目】如图，∠AOB＝20°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为_____．

Answer 1

【答案】40°．

【解析】

作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM'=∠NPQ，∠OQP=∠AQN'=∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．

如图，作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，

∴∠OPM=∠OPM'=∠NPQ，∠OQP=∠AQN'=∠AQN，

∴∠QPN（180°﹣α）=∠AOB+∠MQP=20°（180°﹣β），

∴180°﹣α=40°+（180°﹣β），

∴β﹣α=40°．

故答案为：40°．