Question

8．利用图形的面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．
（1）根据如图所示的图形写出一个代数恒等式；
（2）已知x-$\frac{1}{x}$=3（其中x＞0），求x+$\frac{1}{x}$的值；
（3）已知正数a、b、c和m、n、l满足a+m=b+n=c+l=k，请你构造一个图形，并利用图形的面积说明al+bm+cn＜k²．

Answer 1

分析 （1）利用面积分割法，可求阴影部分面积，各部分用代数式表示即可；
（2）将x-$\frac{1}{x}$=3两边平方可得${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=11$，先将x+$\frac{1}{x}$两边平方可求得其值，再开方根据x＞0可得x+$\frac{1}{x}$的值；
（3）利用面积分割法，可构造正方形，使其边长等于a+m=b+n=c+l=k（注意a≠b≠c，m≠n≠l），并且正方形里有边长是a、l；b、m；c、n的长方形，通过画成的图可发现，al+bm+cn＜k²．

解答 解：（1）由图可得，4ab=（a+b）²-（a-b）²；
（2）∵x-$\frac{1}{x}$=3（其中x＞0），
∴$（x-\frac{1}{x}）^{2}={3}^{2}$，
即${x}^{2}-2+\frac{1}{{x}^{2}}=9$，
∴${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=11$，
∴$（x+\frac{1}{x}）^{2}={x}^{2}+2+\frac{1}{{x}^{2}}=13$，
∵x＞0，
∴$x+\frac{1}{x}=\sqrt{13}$；
（3）构造一个边长为k的正方形，如图所示：显然a+m=b+n=c+l=k，

根据图形可知，正方形内部3个矩形的面积和小于正方形的面积，
故al+bm+cn＜k²．

点评 本题主要考查完全平方公式的几何背景及公式间的相互转化，利用几何图形推导代数恒等式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系．