【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向在AB上运动,以点M为圆心,MA长为半径画圆,如图2,过点M作NM⊥AB,交⊙M于点N,设运动时间为t秒.
(1)填空:BD= ,BM= ;(请用准确数值或含t的代数式表示)
(2)当⊙M与BD相切时,
①求t的值;
②求△CDN的面积.
(3)当△CND为直角三角形时,求出t的值.
【答案】(1)15,9﹣t;(2)①t=2②36;(3)t=4.5秒
【解析】分析:(1)、根据Rt△ABD的勾股定理求出BD的长度,根据AM=t得出BM的长度;(2)①、判断出△BME和△BDA相似,得出比例式建立方程即可得出答案;②、先求出MN、CD边上的高,利用三角形的面积公式得出答案;(3)、过点N作直线FG⊥MN,分别交AD,BC于点F,G,分别求出和与t的关系式,然后分∠DNC=90°和∠DCN=90°两种情况求出t的值.
详解:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC=12,∠BAD=90°,
在Rt△ABD中,AB=9,BC=12,根据勾股定理得,BD==15,
由运动知,AM=t. ∴BM=AB﹣AM=9﹣t;
(2)①如图1,⊙M且BD于E, ∴ME⊥BD, ∴∠BEM=∠BAD=90°, ∵∠EBM=∠ABD,
∴△BME∽△BDA, ∴, ∴, ∴t=2,
②∵MN=AM=2t=4, ∴CD边上的高为AD﹣MN=12﹣4=8, ∴S△CDN=×9×8=36;
(3)如图2,过点N作直线FG⊥MN,分别交AD,BC于点F,G,
∴FN=2t,GN=9﹣2t,DF=CG=12﹣2t, ∴DN2=DF2+FN2=(12﹣2t)2+(2t)2,
∴CN2=CG2+GN2=(12﹣2t)2+(9﹣2t)2,
①当∠DNC=90°时,DN2+CN2=CD2, ∴(12﹣2t)2+(2t)2+(12﹣2t)2+(9﹣2t)2=81,
化简,得4t2﹣33t+72=0, ∵△=(﹣33)2﹣4×4×72<0, ∴此方程无实数根;
②当∠DCN=90°时,点N在BC上,BN=BA=2t=9, ∴t=4.5,
综上所述,t=4.5秒.
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【题目】有甲、乙两个长方形纸片,边长如图所示,面积分别为和.
(1)①计算:______,______;
②用“<”“=”或“>”填空:______
(2)若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等,面积为.
①该正方形的边长是______(用含的代数式表示);
②小方同学发现:与的差与无关.请判断小方的发现是否正确,并通过计算说明你的理由.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A′B′O′,当点A′与点C重合时,点A与点B′之间的距离为_____.
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【题目】为提高市民的环保意识,倡导“节能减排,绿色出行”,某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A,B两种不同款型,其中A型车单价400元,B型车单价320元.
(1)今年年初,“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动.投放A,B两种款型的单车共100辆,总价值36800元.试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆?
(2)试点投放活动得到了广大市民的认可,该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放中A,B两车型的数量比进行投放,且投资总价值不低于184万元.请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆?
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【题目】如图数轴上A、B、C三点对应的数分别是a、b、7,满足,,P为数轴上一动点,点P从A出发,沿数轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速运动,点Q从点C出发在射线CA上向点A匀速运动,且P、Q两点同时出发.
(1)求a、b的值
(2)当P运动到线段OB的中点时,点Q运动的位置恰好是线段AB靠近点B的三等分点,求点Q的运动速度
(3)在的条件下,当P、Q两点间的距离是6个单位长度时,求OP的长.
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【题目】如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将△ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,则BD的长为( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
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【题目】求知中学有一块四边形的空地ABCD,如下图所示,学校计划在空地上种植草皮,经测量∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要250元,问学校需要投入多少资金买草皮?
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【题目】为了丰富校园文化,某学校决定举行学生趣味运动会,将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种,为了解学生对这五项运动的喜欢情况,随机调查了该校a名学生最喜欢的一种项目(每名学生必选且只能选择五项中的一种),并将调查结果绘制成如图不完整的统计图表:
学生最喜欢的活动项目的人数统计表
根据图表中提供的信息,解答下列问题:
(1)a= ,b= ,c= .
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)根据调查结果,请你估计该校3000名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑;
(4)根据调查结果,某班决定从这五项(袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛可分别记为A、B、C、D、E)中任选其中两项进行训练,用画树状图或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率.
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【题目】已知线段AD=80,点B、点C都是线段AD上的点.
(1)如图1,若点M为AB的中点,点N为BD的中点,求线段MN的长;
(2)如图2,若BC=10,点E是线段AC的中点,点F是线段BD的中点,求EF的长;
(3)如图3,若AB=5,BC=10,点P、Q分别从B、C出发向点D运动,运动速度分别为每秒移动1个单位和每秒移动4个单位,运动时间为t秒,点E为AQ的中点,点F为PD的中点,若PE=QF,求t的值.
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