Question

【题目】如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，点的横坐标是，点是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线的上方.

（1）若点的坐标是，则 ， ；

（2）设直线与轴分别交于点，求证：是等腰三角形；

（3）设点是反比例函数图像位于之间的动点（与点不重合），连接，比较与的大小，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）详见解析；（3），理由详见解析.

【解析】

（1）由P点坐标可直接求得k的值，过P、B两点，构造矩形，利用面积的和差可求得△PBO的面积，利用对称，则可求得△PAB的面积；

（2）可设出P点坐标，表示出直线PA、PB的解析式，则可表示出M、N的坐标，作PG⊥x轴于点G，可求得MG=NG，即G为MN的中点，则可证得结论；

（3）连接QA交x轴于点M′，连接QB并延长交x轴于点N′，利用（2）的结论可求得∠MM′A=∠QN′O，结合（2）可得到∠PMN=∠PNM，利用外角的性质及对顶角进一步可求得∠PAQ=∠PBQ．

（1）∵点P（1，4）在反比例函数图象上，

∴k=4×1=4，

∵B点横坐标为4，

∴B（4，1），

连接OP，过P作x轴的平行线，交y轴于点P′，过B作y轴的平行线，交x轴于点B′，两线交于点D，如图1，

则D（4，4），

∴PP′=1，P′O=4，OB′=4，BB′=1，

∴BD=4-1=3，PD=4-1=3，

∴S△POB=S矩形OB′DP′-S△PP′O-S△BB′O-S△BDP=16-2-2-4.5=7.5，

∵A、B关于原点对称，

∴OA=OB，

∴S△PAO=S△PBO，

∴S△PAB=2S△PBO=15；

（2）∵点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方，

∴可设点P坐标为（m，），且可知A（-4，-1），

设直线PA解析式为y=k′x+b，

把A、P坐标代入可得，解得，

∴直线PA解析式为，令y=0可求得x=m-4，

∴M（m-4，0），

同理可求得直线PB解析式为，令y=0可求得x=m+4，

∴N（m+4，0），

作PG⊥x轴于点G，如图2，则G（m，0），

∴MG=m-（m-4）=4，NG=m+4-m=4，

∴MG=NG，即G为MN中点，

∴PG垂直平分MN，

∴PM=PN，即△PMN是等腰三角形；

（3）∠PAQ=∠PBQ，理由如下：

连接QA交x轴于M′，连接QB并延长交x轴于点N′，如图3，

由（2）可得PM′=PN′，即∠QM′O=∠QN′O，

∴∠MM′A=∠QN′O，

由（2）知∠PMN=∠PNM，

∴∠PMN-∠MM′A=∠PNM-∠QN′O，

∴∠PAQ=∠NBN′，

又∠NBN′=∠PBQ，

∴∠PAQ=∠PBQ．