Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y＝x＋2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y＝ax2＋bx＋c关于直线x＝对称，且经过A. C两点，与x轴交于另一点为B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ的⊥最大值，并求此时△APC的面积；

(3)在抛物线的对称轴上找出使△ADC为直角三角形的点D,直接写出点D的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋x＋2；(2)4；（3）D点的坐标为(,5)，(,5)，(,1＋)，(,1－).

【解析】分析：（1）由直线过点A，可得出点A的坐标，由A、B关于直线x=对称可找出B点的坐标．由直线经过点C可求出点C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）直线AC的解析式为y=-x+2，即x+y-2=0，设点Q的坐标为（m，-m+2）；则P点坐标为（m，-m2+m+2），由此得到PQ=-（m-2）2+2，由二次函数最值的求法得到：点P（2，3），由分割法求得：S△PAC=S梯形OCPM+S△PMA-S△AOC；

（3）假设存在，设出D点坐标，△ADC为直角三角形分三种情况：

①当点C为直角顶点时：作DM⊥y轴于M由△CD1M∽△ACO可得：CM=3，所以OM=5，即D1（，5）；

②同理当点A为直角顶点时可求D2（，-5）；

③当点D为直角顶点时：过D3作MN⊥y轴．由△CD3M∽△D3NA可得：n2-2n=．易得D3（,1＋），D4（,1－）．

详解：(1)令y＝x＋2＝0，解得：x＝4，

即点A的坐标为(4,0).

∵A、B关于直线x＝对称， ∴点B的坐标为(1,0).

令x＝0，则y＝2，

∴点C的坐标为(0,2)，

∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、 B、C，

∴有解得： a＝，b＝，c＝2.

故抛物线解析式为y＝x2＋x＋2

(2)直线AC的解析式为y＝－x＋2,即x＋y2＝0，

设点Q的坐标为(m，－m＋2) ；则P点坐标为(m, m2＋m＋2)，

∴PQ＝（m2＋m＋2）－（－m＋2）

＝m2＋2m＝－（m－2）2＋2

∴当m＝2时，PQ最大＝2

此时点P（2,3）S△PAC＝S梯形OCPM＋S△PMA－S△AOC＝5＋3－4＝4

(3)假设存在,设D点的坐标为(,5)，(,5)，(,1＋)，(,1－).

解法如下：设D点的坐标（，m）

△ADC为直角三角形分三种情况：

①当点C为直角顶点时：作DM⊥y轴于M

由△CD1M∽△ACO可得：

∴,CM＝3 ∴OM＝5即D1（,5）

②同理当点A为直角顶点时可求D2(,5)

③当点D为直角顶点时:

过D3作MN⊥y轴

由△CD3M∽△D3NA可得：

∴，可得：n2－2n＝

解得：n＝1±

D3(,1＋),D4(,1－)

故D点的坐标为(,5)，(,5)，(,1＋)，(,1－).