Question

7．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．
（1）当点O为AC中点时：
①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若$\frac{AO}{AC}$=$\frac{1}{5}$，则$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）①猜想：AE²+CF²=EF²，连接OB，证△OEB≌△OFC，推出BE=CF即可；
②成立．连结OB，求出OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠FCO，证△OEB≌△OFC，推出BE=CF，在Rt△EBF中，由勾股定理得出BF²+BE²=EF²，即可得出答案；
（2）过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，证△OME∽△ONF，推出$\frac{OM}{ON}=\frac{OE}{OF}$，证△AOM∽△OCN，得出比例式，即可得出答案．

解答 解：（1）①猜想：AE²+CF²=EF²，
连接OB，如图1，
∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．
∴∠EOB=∠FOC，
在△OEB和△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOB=∠FOC}\\{OB=OC}\\{∠EBO=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC（ASA）．
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF²+BE²=EF²，
∴AE²+CF²=EF²；

②成立．
证明：连结OB．如图2，
∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC．
在△OEB和△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOB=∠FOC}\\{OB=OC}\\{∠EBO=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC（ASA）．
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF²+BE²=EF²，
∴AE²+CF²=EF²；

（2）$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{4}$，如图3，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．
∵∠B=90°，
∴∠MON=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOM=∠FON．
∵∠EMO=∠FNO=90°，
∴△OME∽△ONF，
∴$\frac{OM}{ON}=\frac{OE}{OF}$，
∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，
∴△AOM∽△OCN，
∴$\frac{OM}{ON}=\frac{AO}{OC}$，
∵$\frac{AO}{AC}=\frac{1}{5}$，
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{4}$，
故答案为$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了几何变换综合题，涉及到的知识点是等腰直角三角形性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解答本题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质以及相似三角形的性质定理，此题有一定的难度．