【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点、两点(点在点的左侧),与轴交于点.
(1)如图1,若点是直线上方抛物线上的一个动点,过点作轴交直线于点,作于点,点为直线上一动点,点为轴上一动点,连接,.当最长时,求的最小值;
(2)如图2,将绕点逆时针旋转得,将沿直线平移得到,直线与轴交于点,连接,将 沿边翻折得 ,连接, ,当是等腰三角形时,求此时点的坐标.
【答案】(1) ;(2) 或 或 .
【解析】
(1)先求出A、B、C的坐标,直线BC解析式,可推出,设,则,推出时取得最大值,此时最长,作直线,过点作于,交于,交轴于,将转化为PK即可求值;
(2)设,则,,分别表示出,,,再分别讨论两边相等,建立方程求解.
(1)令,得或4,
令得
∴,,
BC=
设直线BC解析式为:,代入,得:
,解得
∴直线BC解析式为
∵,轴,
∴∠PDE=∠CBO
∵∠PED=∠COB=90°
∴△PDE∽△CBO
∴
∴,当取得最大值时,线段最长.
设,则
∴
∵
∴当,即时取得最大值,此时最长
作直线,过点作于,交于,交轴于,与y轴交于F,
易得F点坐标为,
∴
∵∠OAF=∠KAN,∠AOF=∠AKN=90°
∴△AOF∽△AKN
∴,则
此时,
PK的长即为的最小值,
∵
∴设直线PK的解析式为,将代入得:
,解得,即直线PK解析式为
联立与得:
解得,则M坐标为
∴
即的最小值为.
(2)设,则,
∵
∴
当时,,或
当时,,
当时,,
∴或或
∴或或
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【题目】如图,一次函数的图象和反比例函数的图象相交于两点.
(1)试确定一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求的面积;
(3)结合图象,直接写出使成立的的取值范围.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与轴交于点B (-3 ,0) 和C (4 ,0)与轴交于点A.
(1) a = ,b = ;
(2) 点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向B运动,同时,点N从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BC向C运动,当点M到达B点时,两点停止运动.t为何值时,以B、M、N为顶点的三角形是等腰三角形?
(3) 点P是第一象限抛物线上的一点,若BP恰好平分∠ABC,请直接写出此时点P的坐标.
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【题目】某商家为迎接“10周年购物狂欢节”,准备将编号为l号,2号,…,60号的奖券分别对应60份奖品.现将奖券不均匀分配放置在,,三个抽奖盒中,若将盒中的26号奖券调换到盒,将盒中的44号奖券调换到盒,此时,、两盒奖券的编号平均数比调换前增加了0.6,盒奖券的编号平均数比调换前增加了0.9,同时经计算发现,盒中编号平均数调换前低于36,调换后编号平均数却高于36,则调换前盒中有_________张奖券.
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【题目】已知:二次函数中的和满足下表:
] |
(1)请直接写出m的值为_________.
(2)求出这个二次函数的解析式.
(3)当时,则y的取值范围为______________________________.
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【题目】已知,H为射线OA上一定点,,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转,得到线段PN,连接ON.
(1)依题意补全图1;
(2)求证:;
(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.
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【题目】为了解某校九年级学生立定跳远水平,随机抽取该年级50名学生进行测试,并把测试成绩(单位:m)绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图.
请根据图表中所提供的信息,完成下列问题:
(1)表中________,________,样本成绩的中位数落在证明见解析________范围内;
(2)请把频数分布直方图补充完整;
(3)该校九年级共有1000名学生,估计该年级学生立定跳远成绩在范围内的学生有多少人?
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