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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线轴交于点两点(点在点的左侧),与轴交于点

1)如图1,若点是直线上方抛物线上的一个动点,过点轴交直线于点,作于点,点为直线上一动点,点轴上一动点,连接.当最长时,求的最小值;

2)如图2,将绕点逆时针旋转,将沿直线平移得到,直线轴交于点,连接,将 沿边翻折得 ,连接 ,当是等腰三角形时,求此时点的坐标.

【答案】1 ;(2

【解析】

1)先求出ABC的坐标,直线BC解析式,可推出,设,则,推出取得最大值,此时最长,作直线,过点,交,交轴于,将转化为PK即可求值;

2)设,则,分别表示出,再分别讨论两边相等,建立方程求解.

1)令,得4

BC=

设直线BC解析式为:,代入得:

,解得

直线BC解析式为

轴,

∴∠PDE=CBO

∵∠PED=COB=90°

∴△PDE∽△CBO

,当取得最大值时,线段最长.

,则

,即取得最大值,此时最长

作直线,过点,交,交轴于,与y轴交于F

易得F点坐标为

∵∠OAF=KAN,∠AOF=AKN=90°

∴△AOF∽△AKN

,则

此时

PK的长即为的最小值,

∴设直线PK的解析式为,将代入得:

,解得,即直线PK解析式为

联立得:

解得,则M坐标为

的最小值为

2)设,则

时,

时,

时,

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]

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