Question

【题目】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系是什么？写出它们之间的数量关系．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，请证明？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？直接写出条件，不需要证明．
（3）若AC=4 ，BC=3，在（2）的条件下，求△ABC中AB边上的高．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如图1，

∵四边形ADEF是正方形，

∴∠DAF=90°，AD=AF，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴CF=BD，

∴∠B=∠ACF，

∴∠B+∠BCA=90°，

∴∠BCA+∠ACF=90°，

即CF⊥BD；

②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．

如图2，

由正方形ADEF得：AD=AF，∠DAF=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠DAF=∠BAC．

∴∠DAB=∠FAC．

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC（SAS）．

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=45°．

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即 CF⊥BD

（2）

解：当∠BCA=45°时，CF⊥BD；

理由如下：

如图3，过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G，

∵∠ACB=45°，

∴△AGC等腰直角三角形，

∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°，

∵AG=AC，AD=AF，

∵∠GAD=∠GAC﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，∠FAC=∠FAD﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，

∴∠GAD=∠FAC，

∴△GAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠AGD=45°，

∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°，

∴CF⊥BC；

（3）

解：当具备∠BCA=45°，AC=4 ，BC=3时，

如图4，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，

∵∠BCA=45°，

∴AQ=CQ=4．

∴△ABC为钝角三角形，

∴BQ=1，

由勾股定理得：则AB= = ，

设AB边上的高为h，

S△ABC= ABh= BCAQ，

∴ h= ×3×4，

∴h= ，

答：△ABC中AB边上的高为 ．

【解析】（1）①由四边形ADEF是正方形与AB=AC，∠BAC=90°，易证得△BAD≌△CAF，然后由全等三角形的性质，可证得CF=BD，继而求得∠BCA+∠ACF=90°，即CF⊥BD；②由四边形ADEF是正方形与AB=AC，∠BAC=90°，易证得△BAD≌△CAF，然后由全等三角形的性质，可证得CF=BD，继而求得∠BCA+∠ACF=90°，即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．（3）如图4，作辅助线，构建等腰直角三角形，说明△ABC是钝角三角形，求AQ、BQ、AB的长，用面积法求出AB上的高为 ．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能正确解答此题．