Question

【题目】如图1，△ABC和△DEC均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，连接BE，AD，两条线段所在的直线交于点P.

（1）线段BE与AD有何数量关系和位置关系，请说明理由．

（2）若已知BC=12，DC=5，△DEC绕点C顺时针旋转，

①如图2，当点D恰好落在BC的延长线上时，求AP的长；

②在旋转一周的过程中，设△PAB的面积为S，求S的最值．

Answer 1

【答案】（1）BE=AD，BE与AD互相垂直，证明详见解析；（2）①AP=；②最小47，最大72

【解析】

（1）由题意根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，进行分析与等量代换即可；

（2）①由题意根据解直角三角形的勾股定理以及相似三角形的判定与性质进行分析即可；

②由∠APB=90°可知点P在以AB为直径的圆的一段弧上，且当BP与以CE为半径⊙C相切时，点P在其运动路径所在弧的两个端点处，P到AB的距离最小，此时△PAB的面积S最小；当点P与点C重合时，P到AB的距离最大，此时△PAB的面积S最大.

解：（1）BE=AD，BE与AD互相垂直；

证明：∵等腰△ABC，等腰Rt△DEC，

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE，

∴BE=AD，∠CAD=∠CBE，

∵∠CAD+∠APB=∠CBE+∠ACB=∠AOB，

∴∠APB=∠ACB=90°，即BE与AD互相垂直.

（2）①∵AB=BC=12，DC=EC=5，

∴AE=AC-EC=12-5=7，

Rt△BCE中，BE=，

由（1）同理可知∠APB=∠ACB=90°，∠CAD=∠CBE，

∴△APE∽△BCE，

∴，即，解得AP=.

②由∠APB=90°可知点P在以AB为直径的圆的一段弧上，且当BP与以CE为半径⊙C相切时，点P在其运动路径所在弧的两个端点处，P到AB的距离最小，此时△PAB的面积S最小。如图1、2，易知四边形PDCE是边长为5的正方形.

∴ BE=AD=，BP=BE+PE=，AP=AD-PD=，

∴S（最小值）=×AP×BP=，

当点P与点C重合时，P到AB的距离最大，此时△PAB的面积S最大，如图3

S（最大值）=×AC×BC=×12×12=72.