Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ²=CP²-CQ²，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．

解答 解：连接CP、CQ；如图所示：
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，∠CQP=90°，
根据勾股定理得：PQ²=CP²-CQ²，
∴当PC⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，AC=$2\sqrt{3}$，
∴CP$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴PQ$\sqrt{{CP}^{2}-C{Q}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
∴PQ的最小值是$\sqrt{2}$，
故选C．

点评 本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．