Question

2．半径为R的圆内接正三角形的面积是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$R²
• B． πR²
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$R²
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²

Answer 1

分析 根据题意画出图形，先求出正三角形的中心角及边心距，再根据三角形的面积公式求解即可．

解答 解：如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC=$\frac{360°}{3}$=120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD=$\frac{R}{2}$，BD=OB•cos30°=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$，
∴BC=2BD=2×$\frac{\sqrt{3}R}{2}$=$\sqrt{3}$R，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$×BC×OD=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$×$\frac{R}{2}$=$\frac{\sqrt{3}{R}^{2}}{4}$，
∴S_△ABC=3×$\frac{\sqrt{3}{R}^{2}}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²．
故选D．

点评 本题考查圆的内接正三角形的性质及等边三角形的面积的计算．规律与趋势：圆的内接正三角形的计算是圆中的基本计算，正三角形的相关性质则是解决这类问题的关键．其中，已知边长求面积，已知高求面积等都是常见的计算．