Question

Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EF⊥BC于F．求证：EF²=AE•EC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长FE交BA的延长线于H，由AD∥HF，得出

HE

AP

=

BE

BP

，

EF

DP

=

BE

BP

，可得到

HE

AP

=

EF

DP

，由AP=DP，可得出HE=EF，再利用Rt△AEH∽Rt△FEC，即可得出EF²=AE•EC．

解答：解：如图：延长FE交BA的延长线于H，

∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥HF
∴

HE

AP

=

BE

BP

，

EF

DP

=

BE

BP

，
∴

HE

AP

=

EF

DP

，
∵P为AD的中点，
∴AP=DP，
∴HE=EF
∵∠AEH=∠CEF，
∴Rt△AEH∽Rt△FEC，
∴

AE

FE

=

HE

EC

，即

AE

EF

=

EF

EC

，
∴EF²=AE•EC．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确的作出辅助线，构造相似三角形．