Question

6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则AP=1或5或9．

Answer 1

分析 设AP=x，则PD=AD-AP=10-x，然后分类讨论：若∠APB=∠DPC，则Rt△APB∽Rt△DPC，得到比例式，代入求出即可；若∠APB=∠PCD，则Rt△APB∽Rt△DCP，得到比例式，代入求出即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=3，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，
设AP=x，则PD=AD-AP=10-x，
若∠APB=∠DPC，则Rt△APB∽Rt△DPC，
所以$\frac{AP}{PD}$=$\frac{AB}{CD}$，即$\frac{x}{10-x}$=$\frac{3}{3}$，
解得：x=5；
若∠APB=∠PCD，则Rt△APB∽Rt△DCP，
所以$\frac{AB}{DP}$=$\frac{AP}{CD}$，
$\frac{3}{10-x}$=$\frac{x}{3}$，
解得：x=1或9；
所以当AP=1或5或9时，以P，A，B为顶点的三角形与以P，D，C为顶点的三角形相似，即这样的P点有三个．
故答案为：1或5或9．

点评 本题考查了相似三角形的判定和判定，矩形的性质的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键，注意：有两组角对应相等的两个三角形相似，用了分类讨论的思想．