【题目】(本题14分)如图,已知线段AB=2,MN⊥AB于点M,且AM=BM,P是射线MN上一动点,E,D分别是PA,PB的中点,过点A,M,D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上),连结AC,DE.
(1)当∠APB=28°时,求∠B和的度数;
(2)求证:AC=AB。
(3)在点P的运动过程中
①当MP=4时,取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求所有满足条件的MQ的值;
②记AP与圆的另一个交点为F,将点F绕点D旋转90°得到点G,当点G恰好落在MN上时,连结AG,CG,DG,EG,直接写出△ACG和△DEG的面积之比.
【答案】(1) ∠B=76°,56°;(2)证明见解析;(3)①或或;②
【解析】
试题分析:(1)根据三角形ABP是等腰三角形,可得∠B的度数,再连接MD,根据MD为△PAB的中位线,可得∠MDB=∠APB=28°,进而得到=2∠MDB=56°;
(2)根据∠BAP=∠ACB,∠BAP=∠B,即可得到∠ACB=∠B,进而得出AC=AB;
(3)①记MP与圆的另一个交点为R,根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2,即可得到PR=,MR=,再根据Q为直角三角形锐角顶点,分四种情况进行讨论:当∠ACQ=90°时,当∠QCD=90°时,当∠QDC=90°时,当∠AEQ=90°时,即可求得MQ的值为或或;
②先判定△DEG是等边三角形,再根据GMD=∠GDM,得到GM=GD=1,过C作CH⊥AB于H,由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG,即可得到CG=MH=﹣1,进而得出S△ACG=CG×CH=,再根据S△DEG=,即可得到△ACG和△DEG的面积之比.
试题解析:(1)∵MN⊥AB,AM=BM,
∴PA=PB,
∴∠PAB=∠B,
∵∠APB=28°,
∴∠B=76°,
如图1,连接MD,
∵MD为△PAB的中位线,
∴MD∥AP,
∴∠MDB=∠APB=28°,
∴=2∠MDB=56°;
(2)∵∠BAC=∠MDC=∠APB,
又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B,∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B,
∴∠BAP=∠ACB,
∵∠BAP=∠B,
∴∠ACB=∠B,
∴AC=AB;
(3)①如图2,记MP与圆的另一个交点为R,
∵MD是Rt△MBP的中线,
∴DM=DP,
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD,
∴RC=RP,
∵∠ACR=∠AMR=90°,
∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2,
∴12+MR2=22+PR2,
∴12+(4﹣PR)2=22+PR2,
∴PR=,
∴MR=,
Ⅰ.当∠ACQ=90°时,AQ为圆的直径,
∴Q与R重合,
∴MQ=MR=;
Ⅱ.如图3,当∠QCD=90°时,
在Rt△QCP中,PQ=2PR=,
∴MQ=;
Ⅲ.如图4,当∠QDC=90°时,
∵BM=1,MP=4,
∴BP=,
∴DP=BP=,
∵cos∠MPB=,
∴PQ=,
∴MQ=;
Ⅳ.如图5,当∠AEQ=90°时,
由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°,
∴MQ=;
综上所述,MQ的值为或或;
②△ACG和△DEG的面积之比为.
理由:如图6,∵DM∥AF,
∴DF=AM=DE=1,
又由对称性可得GE=GD,
∴△DEG是等边三角形,
∴∠EDF=90°﹣60°=30°,
∴∠DEF=75°=∠MDE,
∴∠GDM=75°﹣60°=15°,
∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°,
∴GMD=∠GDM,
∴GM=GD=1,
过C作CH⊥AB于H,
由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG,AH=,
∴CG=MH=﹣1,
∴S△ACG=CG×CH=,
∵S△DEG=,
∴S△ACG:S△DEG=.
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【题目】如图,在ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E是AD的中点,如果OE=2,AD=6,那么ABCD的周长是( )
A.20
B.12
C.24
D.8
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【题目】已知平面上四点A(0,0),B(10,0),C(12,6),D(2,6),直线y=mx﹣3m+6将四边形ABCD分成面积相等的两部分,则m的值为( )
A.
B.﹣1
C.2
D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b经过点A(﹣30,0)和点B(0,15),直线y=x+5与直线y=kx+b相交于点P,与y轴交于点C.
(1)求直线y=kx+b的解析式.
(2)求△PBC的面积.
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【题目】如图,矩形OABC的边OA,OC分别在轴、轴上,点B在第一象限,点D在边BC上,且∠AOD=30°,四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称(点A′和A,B′和B分别对应),若AB=1,反比例函数的图象恰好经过点 A′,B,则的值为_________.
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【题目】下列说法不正确的是( )
A. 面积相等的两个三角形全等 B. 全等三角形对应边上的中线相等
C. 全等三角形的对应角的角平分线相等 D. 全等三角形的对应边上的高相等
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【题目】(本题10分)如图,过抛物线上一点A作轴的平行线,交抛物线于另一点B,交轴于点C,已知点A的横坐标为.
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;
(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D;
①连结BD,求BD的最小值;
②当点D落在抛物线的对称轴上,且在轴上方时,求直线PD的函数表达式.
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【题目】甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行,甲骑自行车从A地到B地,乙驾车从B地到A地,他们分别以不同的速度匀速行驶,已知甲先出发6分钟后,乙才出发,在整个过程中,甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示,当乙到达终点A时,甲还需 分钟到达终点B.
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