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【题目】(本题14分)如图,已知线段AB=2,MNAB于点M,且AM=BM,P是射线MN上一动点,E,D分别是PA,PB的中点,过点A,M,D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上),连结AC,DE

(1)当APB=28°时,求B和的度数;

(2)求证:AC=AB。

(3)在点P的运动过程中

当MP=4时,取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求所有满足条件的MQ的值;

记AP与圆的另一个交点为F,将点F绕点D旋转90°得到点G,当点G恰好落在MN上时,连结AG,CG,DG,EG,直接写出ACG和DEG的面积之比

【答案】(1) B=76°,56°;(2)证明见解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)根据三角形ABP是等腰三角形,可得B的度数,再连接MD,根据MD为PAB的中位线,可得MDB=APB=28°,进而得到=2MDB=56°;

(2)根据BAP=ACB,BAP=B,即可得到ACB=B,进而得出AC=AB;

(3)记MP与圆的另一个交点为R,根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2,即可得到PR=,MR=,再根据Q为直角三角形锐角顶点,分四种情况进行讨论:当ACQ=90°时,当QCD=90°时,当QDC=90°时,当AEQ=90°时,即可求得MQ的值为

先判定DEG是等边三角形,再根据GMD=GDM,得到GM=GD=1,过C作CHAB于H,由BAC=30°可得CH=AC=1=MG,即可得到CG=MH=﹣1,进而得出SACG=CG×CH=,再根据SDEG=,即可得到ACG和DEG的面积之比.

试题解析:(1)MNAB,AM=BM,

PA=PB,

∴∠PAB=B,

∵∠APB=28°,

∴∠B=76°,

如图1,连接MD,

MD为PAB的中位线,

MDAP,

∴∠MDB=APB=28°,

=2MDB=56°;

(2)∵∠BAC=MDC=APB,

∵∠BAP=180°﹣APB﹣B,ACB=180°﹣BAC﹣B,

∴∠BAP=ACB,

∵∠BAP=B,

∴∠ACB=B,

AC=AB;

(3)如图2,记MP与圆的另一个交点为R,

MD是RtMBP的中线,

DM=DP,

∴∠DPM=DMP=RCD,

RC=RP,

∵∠ACR=AMR=90°,

AM2+MR2=AR2=AC2+CR2

12+MR2=22+PR2

12+(4﹣PR)2=22+PR2

PR=

MR=

Ⅰ.当ACQ=90°时,AQ为圆的直径,

Q与R重合,

MQ=MR=

Ⅱ.如图3,当QCD=90°时,

在RtQCP中,PQ=2PR=

MQ=

Ⅲ.如图4,当QDC=90°时,

BM=1,MP=4,

BP=

DP=BP=

cosMPB=

PQ=

MQ=

Ⅳ.如图5,当AEQ=90°时,

由对称性可得AEQ=BDQ=90°,

MQ=

综上所述,MQ的值为

②△ACG和DEG的面积之比为

理由:如图6,DMAF,

DF=AM=DE=1,

又由对称性可得GE=GD,

∴△DEG是等边三角形,

∴∠EDF=90°﹣60°=30°,

∴∠DEF=75°=MDE,

∴∠GDM=75°﹣60°=15°,

∴∠GMD=PGD﹣GDM=15°,

GMD=GDM,

GM=GD=1,

过C作CHAB于H,

BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG,AH=

CG=MH=﹣1,

SACG=CG×CH=

SDEG=

SACG:SDEG=

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