已知△ABC.AB=AC.∠ABC=45°.点D为直线BC上一动点.以AD为边作正方形ADEF.连接CF．(1)如图①.当点D在边BC上时.求证:CF+CD=$\sqrt{2}$CA,(2)如图②.当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时.请写出CF.CD.CA之间存在的数量关系.并说明理由,(3)如图③.当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时.补全图形.并直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．已知△ABC，AB=AC，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作正方形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），连接CF．
（1）如图①，当点D在边BC上时，求证：CF+CD=$\sqrt{2}$CA；
（2）如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，请写出CF，CD，CA之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出CF，CD，CA之间的数量关系；
（4）当点D在直线BC上运动时，请你用文字语言描述点F的运动轨迹，并直接写出DB，DC，DA之间的数量关系．

分析（1）根据等腰直角三角形的性质得到BC=$\sqrt{2}$CA，由正方形的性质得到AD=AF，∠DAF=90°，于是得到∠BAD=∠CAF=90°-∠DAC，根据全等三角形的性质即可得到结论．
（2）根据余角的性质得到∠BAD=∠CAF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）方法同（1）（2）；
（4）当点D在直线BC上运动时，点F的运动轨迹是过点C且垂直于BC的直线；根据勾股定理得到DF=$\sqrt{2}$AD，根据勾股定理即可得到结论．

解答（1）证明：∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{2}$CA，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF=90°-∠DAC，
在△BAD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∴CF+CD=BC=$\sqrt{2}$CA；
（2）解：CF-CD=$\sqrt{2}$AC．理由如下：
∵∠BAD=90°+∠CAD，
∠CAF=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD=BC+CD，
∴CF-CD=BC=$\sqrt{2}$AC；
（3）AC、CD与CF的关系：CF=CD-$\sqrt{2}$CA，
理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，从而可得：
BD=CF，
即：CF=CD-$\sqrt{2}$CA；
（4）当点D在直线BC上运动时，点F的运动轨迹是过点C且垂直于BC的直线；
在正方形ADEF中，对角线DF=$\sqrt{2}$AD，
在Rt△CDF中，
DF²=CD²+CF²，
由（1）、（2）证得BD=CF，
∴CD²+BD²=2AD²．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．

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B．

C．

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D．

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