Question

【题目】已知△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，以AD为直径作圆O，交AB边于点G，交AC边于点F,如果点F恰好是的中点．

(1)求CD的长度.

(2)当BD＝3时，求BG的长度．

Answer 1

【答案】(1)CD＝4；(2).

【解析】

(1)先根据垂径定理可得FO⊥AD，结合AD⊥BC，可得出OF∥CD，进而可得，再结合AD的长度即可求出CD的长度；

(2) 先在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB的长度，再过点O作OH⊥AG于点H，由垂径定理可得AG＝2AH，易证△OAH∽△BAD，然后根据相似三角形的性质可求出AH的长度，进而可得出AG、BG的长度，此题得解．

解：(1)∵点F是的中点，OF是半径，∴OF⊥AD．

∵AD⊥BC，∴OF∥CD，∴△AOF∽△ACD，∴．

∵OF＝OA，AD＝4，∴CD＝4．

(2)过点O作OH⊥AG，垂足为H，如图所示．

∵在⊙O中，OH⊥AG，∴AG＝2AH．

∵∠ADB＝90°，∴AD2+BD2＝AB2．

∵BD＝3，AD＝4，∴AB＝5．

∵∠OAH＝∠BAD，∠ADB＝∠AHO，

∴△OAH∽△BAD，∴，即，

∴，，∴．