【题目】已知抛物线y=x2﹣(2m+1)x+m2+m,其中m是常数.
(1)求证:不论m为何值,该抛物线与z轴一定有两个公共点;
(2)若该抛物线的对称轴为直线x=,请求出该抛物线的顶点坐标.
【答案】(1)见解析;(2)顶点为(,﹣)
【解析】
(1)根据题意,由根的判别式△=b2﹣4ac>0得到答案;
(2)结合题意,根据对称轴x=﹣得到m=2,即可得到抛物线解析式为y=x2﹣5x+6,再将抛物线解析式为y=x2﹣5x+6变形为y=x2﹣5x+6=(x﹣)2﹣,即可得到答案.
(1)证明:a=1,b=﹣(2m+1),c=m2+m,
∴△=b2﹣4ac=[﹣(2m+1)]2﹣4×1×(m2+m)=1>0,
∴抛物线与x轴有两个不相同的交点.
(2)解:∵y=x2﹣(2m+1)x+m2+m,
∴对称轴x=﹣==,
∵对称轴为直线x=,
∴=,
解得m=2,
∴抛物线解析式为y=x2﹣5x+6,
∵y=x2﹣5x+6=(x﹣)2﹣,
∴顶点为(,﹣ ).
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【题目】2015年10月29日党的十八届五中全会允许实行普遍二孩政策,政策规定:坚持计划生育的基本国策,完善人口发展战略,全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策,积极开展应对人口老龄化行动.然而新政策出台后,育龄妇女对生育二孩意愿并不高,为了解情况,红星社区对社区内部分妇女生二孩的意愿情况进行抽样调查,并对于其中不愿意生二孩的妇女“不愿意生二孩的原因”进行全面调查,从调查中了解到,愿意生二孩育龄妇女只有人,社区根据本次调查数据制作了相关统计图,请根据图中反映信息,回答下列问题:
图① 图②
(1)这次调查的样本容量是 ;
(2)不愿意生二孩的育龄妇女有 人;
(3)图②为“不愿意生二孩原因”统计图,请将条形统计图补充完整;
(4)调查中了解到,由于“家属”、“其它”原因而不愿意生二孩的育龄妇女共有人,在这人中随机抽取两人,请用树状图或列表法求出两人都是由于“家属”原因不生二孩的概率.
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【题目】已知△OAB在直角坐标系中的位置如图,点A在第一象限,点B在x轴正半轴上,OA=OB=6,∠AOB=30°.
(1)求点A、B的坐标;
(2)开口向上的抛物线经过原点O和点B,设其顶点为E,当△OBE为等腰直角三角形时,求抛物线的解析式;
(3)设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点,已知,P(m,2)(m>0),求m的值.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥CD,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F,AD=4,BF=3,∠EAF=60°,设,如果向量,那么k的值是_____.
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【题目】已知△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,且AD=4,以AD为直径作圆O,交AB边于点G,交AC边于点F,如果点F恰好是的中点.
(1)求CD的长度.
(2)当BD=3时,求BG的长度.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB为直角,AB=10,°,半径为1的动圆Q的圆心从点C出发,沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点B出发,沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0<t≤5)以P为圆心,PB长为半径的⊙P与AB、BC的另一个交点分别为E、D,连结ED、EQ.
(1)判断并证明ED与BC的位置关系,并求当点Q与点D重合时t的值;
(2)当⊙P和AC相交时,设CQ为,⊙P被AC 截得的弦长为,求关于的函数; 并求当⊙Q过点B时⊙P被AC截得的弦长;
(3)若⊙P与⊙Q相交,写出t的取值范围.
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【题目】如图,为某校初三男子立定跳远成绩的统计图,从左到右各分数段的人数之比为1:2:5:6:4,第四组的频数是12,对于下面的四种说法
①一共测试了36名男生的成绩.
②立定跳远成绩的中位数分布在1.8~2.0组.
③立定跳远成绩的平均数不超过2.2.
④如果立定跳远成绩1.85米以下(不含1.85)为不合格,那么不合格人数为6人.
正确的是( )
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点(点在点的左侧),对称轴与轴交于点(3,0),且.
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标;
(2)将抛物线平移,得到的新抛物线的顶点为(0,﹣1),抛物线的对称轴与两条抛物线,围成的封闭图形为.直线经过点.若直线与图形有公共点,求的取值范围.
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【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数.“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多;“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列说法中,正确的是( )
A. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
B. 以低于80 km/h的速度行驶时,行驶相同路程,三辆车中,乙车消耗汽油最少
C. 以高于80 km/h的速度行驶时,行驶相同路程,丙车比乙车省油
D. 以80 km/h的速度行驶时,行驶100公里,甲车消耗的汽油量约为10升
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