Question

【题目】抛物线C：y=x2+bx+c 交 轴于点A（0，-1）且过点 ， P是抛物线C上一个动点，过P作PB∥OA，以P为圆心，2为半径的圆交PB于C、D两点（点D位于点C下方）．

（1）求抛物线C的解析式；
（2）连接AP交⊙P于点E，连接DE，AC．若ΔACP是以CP为直角边的直角三角形，求∠EDC的度数；
（3）若当点P经过抛物线C上所有的点后，点D随之经过的路线被直线 截得的线段长为8，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（0，-1）， （4，-1）在y=x2 + bx+c上，
∴，
∴，
∴抛物线C的解析式为：y=x2-2x-1.

（2）解：由（1）知抛物线C的解析式为：y=x2-2x-1.
①若∠ACP=90°，即AC⊥BD，
∵A（0，-1），
则设C（x，-1），
又∵⊙P半径为2，
∴P（x，-3），D（x，-5 ），
又∵P在抛物线C上，
∴x2-2x-1=-3.，
∴x=2，
∴P（2，-3），
∴CA=CP，
∴∠APC=45°，
又∵∠APC=∠EDC+∠PED，PE=PD，
∴∠EDC=22.5°，
②若∠APC=90°，即AP⊥BD，
∵A（0，-1），PE=PD，
∴△EPD为直角三角形，
∴∠EDC=45°.

（3）解：依题可知：把 y=x22x1 向下平移2个单位后得 y=x22x3 ，
∵对称轴为直线 x=2 ，
由已知条件得：x1=-2，x2 =6，
∴把 x=6 代入 y=x22x3 ，
∴y=3，
即 a=3 .

【解析】（1）由已知条件得出一个二元一次方程组，解之 即可求出，从而得出抛物线C的解析式为：y=x2-2x-1.
（2）由（1）知抛物线C的解析式为：y=x2-2x-1.分两种情况讨论：
① 若∠ACP=90°，即AC⊥BD，由A（0，-1），则设C（x，-1），从而得P（x，-3），D（x，-5 ），又由P在抛物线C上，得出x=2，从而得出P（2，-3），即CA=CP，根据等腰三角形的性质得出∠APC=45°，又由三角形的外角知∠APC=∠EDC+∠PED，PE=PD，从而得出∠EDC=22.5°；
②若∠APC=90°，即AP⊥BD，由A（0，-1），PE=PD，从而得出△EPD为直角三角形，即∠EDC=45°.
（3）依题可知：把 y=x22x1 向下平移2个单位后得 y=x22x3 ， 由抛物线对称轴为直线 x=2 ，从而得出x1=-2，x2 =6，把 x=6 代入 y=x22x3 即可求出a.
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形，需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°才能得出正确答案．