Question

18．四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，EF是BD的垂直平分线交AC于点F，求证：点F是AC的中点．

Answer 1

分析 由∠ABC=∠ADC=90°，得到A，B，C，D四点共圆，证得B，D在以AC为直径的圆上，推出EF与AC的交点F为圆心，于是得到的结论．

解答 证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴B，D在以AC为直径的圆上，
∵EF是BD的垂直平分线交AC于点F，
∴EF过圆心，
∴EF与AC的交点F为圆心，
∴点F为AC的中点．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质，四点共圆，圆周角定理，垂径定理，证得A，B，C，D四点共圆是解题的关键．