Question

已知x₁，x₂（x₁＜x₂）是二次方程x²-（m-1）x+n=0的两个实数根，y₁，y₂是二次方程y²+（n+1）y-6m=0的两个实数根，且x₁-y₁=2，y₂-x₂=2，求m，n的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：

分析：首先由根与系数的关系，得出x₁+x₂=m-1，x₁x₂=n，y₁+y₂=n+1，y₁y₂=-6m，进一步利用已知条件与原方程之间的联系，整理探讨得出答案即可．

解答：解：∵x₁，x₂（x₁＜x₂）是二次方程x²-（m-1）x+n=0③的两个实数根，y₁，y₂是二次方程y²+（n+1）y-6m=0⑤的两个实数根，
∴x₁+x₂=m-1，x₁x₂=n，△=（m-1）²-4n＞0，
y₁+y₂=-（n+1），y₁y₂=-6m，
又∵x₁-y₁=2，①
y₂-x₂=2，②
①-②，得x₁+x₂-（y₁+y₂）=0，
m-1+（n+1）=0，
m+n=2，
m=2-n④，
④代入③，得x²-（2-n-1）x+n=0
x²-（1-n）x+n=0
得（x-n）（x-1）=0
x₁=n，x₂=1或x₁=1，x₂=n，
验增根：假如x₂=1代入②，得y₂=3，
再把y₂=3代入⑤，得9-3（n+1）-6m=0
3n+6m=6，
n+2m=2，
因为m=n+2，得n=-

2

3

，m=

4

3

，
因为x₁＜x₂，
所以n=-

2

3

，m=

4

3

，
假如x₁=1代入①，得y₁=-1，
再把y₁=-1代入⑤，得1+（n+1）-6m=0
n-6m=-2
因为m=n+2，得n=-2，m=0
因为x₁＜x₂，
所以n=-2，m=0为增根
所以n=-

2

3

，m=

4

3

．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．