【题目】已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G.
(1)如图1,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF.则DECD CFAD(填“<”或“=”或“>”);
(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得DECD=CFAD成立?并证明你的结论;
(3)如图3,若BA=BC=3,DA=DC=4,∠BAD=90°,DE⊥CF.则的值为 .
【答案】(1)=;(2)当∠B+∠EGC=180°时,DECD=CFAD成立,证明见解析;(3).
【解析】
试题(1)根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°,求出∠CFD=∠AED,证出△AED∽△DFC即可;
(2)当∠B+∠EGC=180°时,成立,证△DFG∽△DEA,得出
,证△CGD∽△CDF,得出
,即可得出答案;
(3)过C作CN⊥AD于N,CM⊥AB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x,△BAD≌△BCD,推出∠BCD=∠A=90°,证△BCM∽△DCN,求出CM=x,在Rt△CMB中,由勾股定理得出,代入得出方程
,求出CN=
,证出△AED∽△NFC,即可得出答案.
试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠FDC=90°,
∵CF⊥DE,
∴∠DGF=90°,
∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°,
∴∠CFD=∠AED,
∵∠A=∠CDF,
∴△AED∽△DFC,
∴,即
=
.
(2)当∠B+∠EGC=180°时,=
成立.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC,AD∥BC,
∴∠B+∠A=180°,
∵∠B+∠EGC=180°,
∴∠A=∠EGC=∠FGD,
∵∠FDG=∠EDA,
∴△DFG∽△DEA,
∴,
∵∠B=∠ADC,∠B+∠EGC=180°,∠EGC+∠DGC=180°,
∴∠CGD=∠CDF,
∵∠GCD=∠DCF,
∴△CGD∽△CDF,
∴,
∴,
∴,
即当∠B+∠EGC=180°时,成立.
(3)解:.
理由是:过C作CN⊥AD于N,CM⊥AB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x,
∵AB⊥AD,
∴∠A=∠M=∠CNA=90°,
∴四边形AMCN是矩形,
∴AM=CN,AN=CM,
∵在△BAD和△BCD中
∴△BAD≌△BCD(SSS),
∴∠BCD=∠A=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵∠ABC+∠CBM=180°,
∴∠CBM=∠ADC,
∵∠CND=∠M=90°,
∴△BCM∽△DCN,
∴,
∴
∴
在Rt△CMB中,,BM=AM﹣AB=x﹣6,由勾股定理得:
,
∴,
解得 x=0(舍去),x=
∴CN=,
∵∠A=∠FGD=90°,
∴∠AED+∠AFG=180°,
∵∠AFG+∠NFC=180°,
∴∠AED=∠CFN,
∵∠A=∠CNF=90°,
∴△AED∽△NFC,
∴
考点: 相似三角形综合题.
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【题目】在中,
,
,
是
的角平分线.
(1)如图 1,求证:;
(2)如图 2,作的角平分线交线段
于点
,若
,求
的面积;
(3)如图 3,过点作
于点
,点
是线段
上一点(不与
重合),以
为一边,在
的下方作
,
交
延长线于点
,试探究线段
,
与
之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图,一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射,当火箭到达点A,B时,在雷达站C测得点A,B的仰角分别为34°,45°,其中点O,A,B在同一条直线上.
(1)求A,B两点间的距离(结果精确到0.1km).
(2)当运载火箭继续直线上升到D处,雷达站测得其仰角为56°,求此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离(结果精确到0.1km).(参考数据:sin34°=0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.67.)
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【题目】某数学课外活动小组在做气体压强实验时,获得压强p(Pa)与体积V(cm3)之间有下列对应数据:
p(Pa) | … | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
V(cm3) | … | 6 | 3 | 2 | 1.5 | 1.2 | … |
根据表中提供的信息,回答下列问题:
(1)猜想p与V之间的关系,并求出函数关系式;
(2)当气体的体积是12cm3时,压强是多少?
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【题目】如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,AB=10cm,若点M 从点 B 出发以 2cm/s 的速度向点 A 运动,点 N 从点 A 出发以 1cm/s 的速度向点 C 运动,设 M、N 分别从点 B、A 同时出发,运动的时间为 ts.
(1)用含 t 的式子表示线段 AM、AN 的长;
(2)当 t 为何值时,△AMN 是以 MN 为底边的等腰三角形?
(3)当 t 为何值时,MN∥BC?并求出此时 CN 的长.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点A在y轴正半轴上,点B的坐标为(0,﹣3),反比例函数y=﹣的图象经过点C.
(1)求点C的坐标;
(2)若点P是反比例函数图象上的一点且S△PAD=S正方形ABCD;求点P的坐标.
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【题目】已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.
(1)如图1,求证:KE=GE;
(2)如图2,连接CABG,若∠FGB=∠ACH,求证:CA∥FE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG交AB于点N,若sinE=,AK=
,求CN的长.
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【题目】如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF,则下列结论:①DE=DF;②AD平分∠BAC;③AE=AD;④AC﹣AB=2BE中正确的是_____.
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