Question

【题目】已知，在 中，，垂足分别为．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，点为的中点，连接.请判断的形状？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）是等腰直角三角形，理由见解析．

【解析】

（1）根据余角的性质可得∠DAC=∠BCE，进而可根据AAS证明△ADC≌△CEB，可得DC=BE，AD=CE，进一步即可得出结论；

（2）延长EB、DO交于点F，如图3，易得AD∥EF，然后根据平行线的性质和AAS可证△ADO≌△BFO，可得AD=BF，DO=FO，进而可得ED=EF，于是△DEF为等腰直角三角形，而点O是斜边DF的中点，于是根据等腰直角三角形的性质和判定可得结论．

解：（1）证明：如图1，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D=∠E=90°，∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴DC=BE，AD=CE，

∴DE=DC+CE=AD+BE；

（2）是等腰直角三角形．

理由：延长EB、DO交于点F，如图3，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴AD∥EF，

∴∠ADO=∠F，∠DAO=∠FBO，

∵点O是AB中点，∴AO=BO，

∴△ADO≌△BFO（AAS），

∴AD=BF，DO=FO，

∴EF=EB+BF=EB+AD，∴ED=EF，

∴EO⊥DF，即∠EOD=90°，

∵∠DEF=90°，∴∠EDO=45°=∠DEO，

∴OD=OE，

∴△DOE是等腰直角三角形．