Question

【题目】如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC的延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①AD＝BF；②BF＝AF；③AC＋CD＝AB；④AB＝BF；⑤AD＝2BE，其中正确的结论有( )个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据∠ACB=90°，BF⊥AE，得出∠ACB=∠BED=∠BCF=90°，可推出∠F=∠ADC，证明△BCF≌△ACD，根据全等三角形的性质即可判断①，根据垂线段最短可判断②；由△BCF≌△ACD得CD=CF，则AC+CD=AF，根据全等三角形的判定ASA得出△BEA≌△FEA，可得AB=AF，即可判断③④，根据△BCF≌△ACD得AD=BF，根据三线合一推出BE=EF，即可判断⑤．

解：∵∠ACB=90°，BF⊥AE，
∴∠ACB=∠BED=∠BCF=90°，
∴∠F+∠FBC=90°，∠BDE+∠FBC=90°，
∴∠F=∠BDE，
∵∠BDE=∠ADC，
∴∠F=∠ADC，
∵AC=BC，
∴△BCF≌△ACD，
∴AD=BF，∴①正确；

∵BF⊥AE，
∴AF＞AE＞AD，

∵AD=BF，
∴AF＞BF ，即BF≠AF，②错误；
∵△BCF≌△ACD，
∴CD=CF，
∴AC+CD=AF，

∵AE平分∠BAC，BF⊥AE，

∴∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA=90°，

又∵AE=AE，

∴△BEA≌△FEA，
∴AB=AF，
∴AC+CD=AB．
∴③正确；
∵BF=AD，AF＞AE＞AD，AF=AB，
∴AB＞BF，
∴④错误；
∵AB=AF，AE⊥BF，
∴BE=EF，

∴BF=2BE，

∵△BCF≌△ACD，
∴AD=BF=2BE，
∴⑤正确；
正确的有：①③⑤．

故选：C．