Question

【题目】如图，四边形ABCD是的内接四边形，．

如图，求证：；

如图，点F是AC的中点，弦，交BC于点E，交AC于点M，求证：；

在的条件下，若DG平分，，，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

由，得到，从而得到，即可得到．

如图2，延长AD到N，使，连接NC，构造三角形中位线和全等三角形≌，由该全等三角形的对应边相等得到：所以，即；

如图3，连接BG，过点A作，构造等边三角形、通过得，，，作直径AP，连接CP，，故，由锐角三角函数的定义求得，从而得到直径AP的长度，易得半径的长度．

（1）如图1，连接AC，

，

，

；

如图2，延长AD到N，使，连接NC，

，，

四边形ABED是平行四边形，

，

，

．

，

≌，

，

，，

是的中位线，

，

；

如图3，连接BG，过点A作，

由知，

四边形ABED是平行四边形，

．

，

，

，

平分，

，

，

，∠NDC=∠DCE，

，

，，

∴∠DEC=∠DCE=∠EDC，

∴△CDE是等边三角形，

∴∠DEC=∠DCE=∠EDC=60°，DE=CE，

∵∠BGE=∠BCD=60°，∠BEG=∠DEC=60°，

∴是等边三角形，

，

解得，，，，

，

，

作直径AP，连接CP，

，，

，

，

的半径是．