【题目】我们定义：如图，在△
中，把
绕点
按顺时针方向旋转
得到
，把
绕点按逆时针方向旋转
得到
，连接
，当
时，我们称△
是△的“旋补三角形”，△边上的中线
叫做
的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．
⑴ 特例感知：在如图、如图中，
是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”.
① 如图，当为等边三角形时，与
的数量关系为＝ ；
② 如图，当
，
时，则长为 .
⑵ 精确作图：如图，已知在四边形
内部存在点
，使得
是
的“旋补三角形”（点D的对应点为点A，点C的对应点为点B），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）
⑶ 猜想论证：在如图中，当△为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明.
【答案】⑴ ① 
② 4；⑵ 作图见解析；⑶ 
；见解析.
【解析】
（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得
,即可解决问题；
②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（2）作线段AD、BC的垂直平分线，交点即为点P.
（3）结论：．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；
⑴ ①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=AB′=AC′，
∵DB′=DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵
∴
∴
∴
故答案为: .
②如图3,当
，BC=8时，则AD长为4.
理由：∵
∴
∵AB=AB′,AC=AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC=B′C′，
∵B′D=DC′，
∴
故答案为:4.
⑵如图所示：（作线段AD、BC的垂直平分线，交点即为点P）
∴点P即为所求.
⑶
证明：理由：如图1中,延长AD到M,使得AD=DM,连接E′M,C′M
∵B′D=DC′，AD=DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′=B′M=AC，
∵
∴∠BAC=∠MB′A,
∵AB=AB′，
∴△BAC≌△AB′M，
∴BC=AM，
∴
阳光课堂课时作业系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】甲、乙两名同学进入初四后，某科6次考试成绩如图：
（1）请根据下图填写如表：
平均数 | 方差 | 中位数 | 众数 | 极差 | |
甲 | 75 | 75 | |||
乙 | 33.3 | 15 |
（2）请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行
①从平均数和方差相结合看；②从折线图上两名同学分数的走势上看，你认为反映出什么问题？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在某市城区地图(比例尺1∶9000)上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm，10 cm.
(1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？你发现了什么？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：
甲：8，7，9，8，8； 乙：9，6，10，8，7；
（1）将下表填写完整：
平均数 | 中位数 | 方差 | |
甲 | 8 | ||
乙 | 8 | 2 |
（2）根据以上信息，若你是教练，你会选择谁参加射击比赛，理由是什么？
（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这六次射击成绩的方差会 ．（填“变大”或“变小”或“不变”）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知点A(a,3)，点C(5，c)，点B的纵坐标为6且横纵坐标互为相反数，直线AC
轴，直线CB
轴：
(1)写出A、B、C三点坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)若P为线段OB上动点且点P的横、纵坐标互为相反数，当△BCP的面积大于12小于16时，求点P横坐标取值范围.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某校为了更好地开展“阳光体育一小时”活动，对本校学生进行了“写出你最喜欢的体育活动项目（只写一项）”的随机抽样调查，下面是根据得到的相关数据绘制的统计图的一部分.
抽样调查学生最喜欢的运动项目的人数统计图 各运动项目的喜欢人数占抽样总人数百分比统计图
请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对________名学生进行了抽样调查；
（2）请将图1和图2补充完整；
（3）图2中跳绳所在的扇形对应的圆心角的度数是________；
（4）若该校共有2400名同学，请利用样本数据估计全校学生中最喜欢跳绳运动的人数约为多少？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知平面直角坐标系内两点A、B，点
，点B与点A关于y轴对称.
（1）则点B的坐标为________；
（2）动点P、Q分别从A点、B点同时出发，沿直线AB向右运动，同向而行，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，设P、Q的运动时间为t秒，用含t的代数式表示
的面积S，并写出t的取值范围；
（3）在平面直角坐标系中存在一点
，满足
.求m的取值范围.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠E．则AD与BE平行吗？
完成下面的解答过程（填写理由或数学式）．
解：∵∠1＝∠2（已知），
∴ ∥ （内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠ （两直线平行，内错角相等），
又∵∠E＝∠3（已知），
∴∠3＝∠ （等量代换），
∴AD∥BE（ ）．
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