Question

如图，边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为1cm/s，点F的速度为2cm/s．当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点都停止运动，设运动时间为t（t＞0）．
（1）当t=1时，△EFG的面积是多少？
（2）当点F在BC上时，若△EFG的面积为8cm²，求对应的t的值；
（3）是否存在合适的t，使得△EFG为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）可用割补法表示出F在BC上时△EFG的面积（用t的代数式表示），然后把t=1代入即可解决问题．
（2）根据条件建立关于t的方程，解这个方程就可解决问题．
（3）由于点F在BC和CD上运动，故需分两种情况讨论．当点F在BC上运动时，由于等腰△EFG的腰不确定，需分三种情况讨论；当点F在CD上运动时，易证FG＜EF且FG＜EG，因而等腰△EFG中只有EF=EG这种可能，过点G作GH⊥AB于H，过点F作FP⊥AB于P，根据勾股定理可得到EH=EP，由此得到关于t的方程，解这个方程就可解决问题．

解答：解：（1）当点F在BC上时，则有0＜t≤3．
由题意知：AE=t，BE=AB-AE=6-t，
BF=2t，CF=BC-BF=6-2t，CG=t，DG=DC-CG=6-t，
∴S_△EFG=S_梯形BCGE-S_△BEF-S_△CFG
=

1

2

（CG+BE）•BC-

1

2

BE•BF-

1

2

CF•CG
=

1

2

（t+6-t）•6-

1

2

（6-t）•2t-

1

2

（6-2t）•t
=2t²-9t+18．
当t=1时，S_△EFG=2×1²-9×1+18=11．
∴当t等于1秒时，△EFG的面积是11cm²．

（2）当点F在BC上时，如图1，
则有0＜t≤3．      
若△EFG的面积为8cm²，
则有2t²-9t+18=8，
整理得：2t²-9t+10=0，
解得：t₁=2，t₂=2.5，均适合题意，
∴符合要求的t的值为2秒或2.5秒．

（3）①若点F在BC上，过点E作EH⊥DC于H，如图2（1）所示，
则有0＜t≤3，∠EHC=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠EHC=∠B=∠C=90°，
∴四边形BCHE是矩形，
∴EH=BC=6，CH=BE=6-t，
∴GH=CH-CG=6-t-t=6-2t．
在Rt△EHG中，
则有EG²=EH²+GH²=36+（6-2t）²=4t²-24t+72．
同理：在Rt△EBF中，则有EF²=5t²-12t+36；
在Rt△FCG中，则有FG²=5t²-24t+36．
Ⅰ．若EF=FG，
则有5t²-12t+36=5t²-24t+36，
解得：t=0（舍去）．
Ⅱ．若EF=EG，
则有5t²-12t+36=4t²-24t+72，
解得：t₁=-6

2

-6（舍去），t₂=6

2

-6．
Ⅲ．若FG=EG，
则有5t²-24t+36=4t²-24t+72，
解得：t₁=-6，t₂=6．
∵0＜t≤3，
∴t≠±6，故舍去．
②若点F在DC上，
则有3＜t≤6．
过点G作GH⊥AB于H，过点F作FP⊥AB于P，如图2（2）所示，
则有AD=GH=PF=DC．
∵GF＜DC，GH≤EG，PF≤EF，
∴GF＜GE，GF＜EF．
若△EFG为等腰三角形，则有EG=EF．
根据勾股定理可得EH=EP，
∵EH=AE-AH=AE-DG=AE-（DC-CG）=t-（6-t）=2t-6，
EP=BE-BP=BE-FC=6-t-（2t-6）=12-3t，
∴2t-6=12-3t，
解得：t=3.6．
综上所述：当t为（6

2

-6）秒或3.6秒时，△EFG为等腰三角形．

点评：本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，运用割补法是解决第（1）和第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想则是解决第（3）小题的关键．