Question

14．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，5），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）若四边形ABMN是平行四边形，求AB所在直线的解析式；
（3）当点B在双曲线上移动时，试判断直线AB与直线MN的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行四边形的性质可得C点坐标，根据AC平行于y轴，可得m的值，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据平行线间的性质：一次项的系数相等，可得答案．

解答 解：（1）将A（1，5）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，得
$\frac{k}{1}$=5．解得k=5，
反比例函数y=$\frac{5}{x}$；
（2）由四边形ABMN是平行四边形，得
NC=CB，MC=AC．
由AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，得
C（$\frac{m}{2}$，n）还可以表示为（1，$\frac{5}{2}$）．
$\frac{m}{2}$=1，n=$\frac{5}{2}$．
解得m=2，n=$\frac{5}{2}$，即B（2，$\frac{5}{2}$），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（1，5），B（2，$\frac{5}{2}$）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{2k+b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{2}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
直线AB的解析式为y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{15}{2}$；
（3）AB∥MN，理由如下：
由AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，得
M（1，0），N（0，n）．
直线MN一次项的系数为$\frac{0-n}{1-0}$=-n，
直线AB一次项系数为$\frac{n-5}{m-1}$=$\frac{n-5}{\frac{5}{n}-1}$=$\frac{（n-5）n}{5-n}$=-n，
∴AB∥MN．

点评 本题考查了反比例函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式，（2）平行四边形的性质得出C点坐标是解题关键，（3）利用平行线间的一次项系数相等是解题关键．