Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=145°．

Answer 1

分析 由P为△ABD的内心，得出P点必在∠BAC的角平分线上，由于AB=AC，根据等腰三角形的性质可知：P点必在BC的垂直平分线上，即BP=PC，△BPC也是等腰三角形，欲求∠BPC，必先求出∠PBC的度数．等腰△ABC中，已知了顶角∠A的度数，可求得∠ABC、∠ACB的度数；由于CB=CD，∠ACB是△ABC的外角，由此可求出∠D和∠CBD的度数；由于P是△ABD的内心，则PB平分∠ABD，由此可求得∠PBD的度数，根据∠PBC=∠PBD-∠CBD可求出∠PBC的度数，由此得解．

解答 解：△ABC中，AB=AC，∠A=40°；
∴∠ABC=∠ACB=70°；
∵P是△ABD的内心，
∴P点必在等腰△ABC底边BC的垂直平分线上，
∴PB=PC，∠BPC=180°-2∠PBC；
在△CBD中，CB=CD，
∴∠CBD=∠D=$\frac{1}{2}$∠ACB=35°；
∵P是△ABD的内心，
∴PB平分∠ABD，
∴∠PBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠CBD）=52.5°，
∴∠PBC=∠PBD-∠CBD=52.5°-35°=17.5°；
∴∠BPC=180°-2∠PBC=145°．
故答案为：145°．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识；此题比较复杂，综合性强，熟记三角形的内心性质是解决问题的关键．