Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB,ADCD,垂足为D，AD交⊙O 于E,连接CE.（1）求证：CD 是⊙O 的切线

（2）若E是弧AC的中点，⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积。

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证；

（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可．

试题解析：解：（1）∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD与圆O相切；

（2）连接EB，交OC于F．∵E为弧AC的中点，∴弧AE==弧EC，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA．又∵∠EAC=∠OAC，∴∠ECA=∠OAC，∴CE∥OA．又∵OC∥AD，∴四边形AOCE是平行四边形，∴CE=OA，AE=OC．又∵OA=OC=1，∴四边形AOCE是菱形．∵AB为直径，得到∠AEB=90°，∴EB∥CD．∵CD与⊙O相切，C为切点，∴OC⊥CD，∴OC∥AD，∵点O为AB的中点，∴OF为△ABE的中位线，∴OF=AE=，即CF=DE=，在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=，则S阴影=S△DEC=．