Question

7．已知：x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$
求：（1）x₁+x₂；
（2）x₁x₂；
（3）求证：ax${\;}_{1}^{2}$+bx₁+c=0．

Answer 1

分析 （1）代入，利用同分母的分式的加法法则求解；
（2）代入，然后利用分数相乘的法则求解；
（3）把x₁的值代入式子的左边，首先计算乘方，然后通分相加即可求解．

解答 解：（1）x₁+x₂=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$+$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-2b}{2a}$=-$\frac{b}{a}$；
（2）x₁x₂=$\frac{（-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}）（-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}）}{4{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}-（{b}^{2}-4ac）}{4{a}^{2}}$=$\frac{4ac}{4{a}^{2}}$=$\frac{c}{a}$；
（3）ax${\;}_{1}^{2}$+bx₁+c=a•（$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$）²+$\frac{b（-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}）}{2a}$+c
=a•$\frac{{b}^{2}+{b}^{2}-4ac-2b\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{4{a}^{2}}$+$\frac{-{b}^{2}+b\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$+c
=$\frac{2{b}^{2}-4ac-2b\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{4a}$+$\frac{-2{b}^{2}+2b\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{4a}$+$\frac{4ac}{4a}$
=$\frac{2{b}^{2}-4ac-2b\sqrt{{b}^{2}-4ac}-2{b}^{2}+2b\sqrt{{b}^{2}-4ac}+4ac}{4a}$
=0．

点评 本题考查了二次根式的化简，正确运用乘法公式是关键．计算量比较大．