Question

【题目】如图，已知ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC与点F，且∠BCD=60°，BC=2CD，连接OE，则下列结论：①OE∥AB ②SABCD=BD·CD ③AO=2BO ④S△DOF=2S△EOF，其中成立的有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

①先根据题意说明BE=CE、OA=OC，然后根据三角形中位线定理即可判断；

②只要说明BD⊥CD即可判定为正确；

③设AB=x，分别表示OA和OB的长，然后进行比较即可判断；

④利用平行线分线段成比例定理可得DF=2EF，然后根据三角形的面积公式即可判定．

解：①∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD//BC，OA=OC，∠ADC+∠BCD=180°

∵∠BCD=60°，

∴ADC= 120°，

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE=∠BCD=60°

∴△CDE等边三角形

∴CE=CD

∵BC=2CD

∴BE=CE

∵OA=OC

.∴OE//AB

故①正确；

②∵△DEC是等边三角形，

∴∠DEC=60°=∠DBC+∠BDE

∵BE=EC=DE

∴∠DBC=∠BDE=30°，

∴∠BDC=30°+60°=90°

∴BD⊥CD

∴S平行四边形ABCD=2=2×BD·CD= BD·CD；

故②正确；

③设AB=x，则AD=2x，BD=x，

∴OB=x

则由勾股定理可得：

故③不正确；

④∵AD//EC，

∴

∴DF=2EF

∵S△DOF和S△EOF的高相同

∴S△DOF=2S△EOF

故④正确；即共有3个正确．

故选C．