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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点DAB下方圆上的一点,点C是优弧AD的中点,过点B作⊙O的切线BEAC的延长线于点E,连接OCODCBBD

1)求证:BDOC

2)当AB6时,完成填空:

①当BE 时,四边形ODBC是菱形;

②当BE 时,SBCESABC

【答案】1)见解析;(2)①; ②3

【解析】

1)连接CD,根据圆的基本性质可得ACDC,然后证出,可得∠A=∠ODC,然后根据同弧所对的圆周角性质可得∠A=∠CDB,再推出∠OCD=∠CDB即可证出结论;

2)①根据切线的性质可得∠ABE=90°,当AB6BE时,利用锐角三角函数即可求出∠A,从而求出∠COB和∠ODB,根据等边三角形的判定定理可证都是等边三角形,从而得出BC=OC=OD=BD,即可证出结论;

②根据切线的性质可得∠ABE=90°,当AB6BE3时,利用锐角三角函数即可求出tanA,从而得出,设BC=x,利用勾股定理求出BCAC,再利用勾股定理即可求出CE,即可求出CEAC,然后根据两个三角形等高时,面积比等于底之比即可得出结论.

1)证明:连接CD

∵点C为优弧AD的中点,

ACDC

又∵OAODOCOC

∴∠A=∠ODC

又∵∠A与∠CDB都为所对的圆周角,

∴∠A=∠CDB

∴∠ODC=∠CDB

ODOC

∴∠ODC=∠OCD

∴∠OCD=∠CDB

BDOC

2)解:①当BE时,四边形ODBC是菱形,理由如下

BE为⊙O的切线

∴∠ABE=90°

AB6BE时,

tanA=

∴∠A=30°

∴∠COB=2A=60°,∠ODB=ODC+∠CDB=2A=60°

OC =OB=OD

都是等边三角形

BC=OC=OD=BD

∴四边形ODBC是菱形

故答案为:

BE3时,SBCESABC,理由如下

BE为⊙O的切线

∴∠ABE=90°

AB6BE3时,

tanA=

AB为直径

∴∠ACB=90°

tanA=

BC=x,则AC=2x

BC2+AC2=AB2

x2+2x2=62

解得:x=(不符合实际,舍去)

BC=AC=

RtBCE中,CE=

CEAC==14

SBCESABC=14

SBCESABC

故答案为:3

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