Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）求证：DH是圆O的切线；

（2）若＝，求证A为EH的中点；

（3）若EA＝EF＝2，求圆O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）⊙O的半径为1+

【解析】

（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，则DH⊥AC，则DH是圆O的切线；

（2）先证明∠E＝∠B＝∠C，得△EDC是等腰三角形，证明△AEF∽△ODF，则，设OD＝3x，AE＝2x，可知EC＝8x，根据等腰三角形三线合一得EH＝CH＝4x，从而得结论；

（3）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，证明DF＝OD＝r，则DE＝DF+EF＝r+2，BD＝CD＝DE＝r+2，证明△BFD∽△EFA，列比例式为，列方程即可求出r的值．

（1）证明：连接OD，如图，

∵OB＝OD，

∴△ODB是等腰三角形，

∠OBD＝∠ODB①，

在△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB②，

由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是圆O的切线；

（2）解：如图，在⊙O中，∵∠E＝∠B，

∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C，

∴△EDC是等腰三角形，

∵

∵AE∥OD，

∴△AEF∽△ODF，

∴

设OD＝3x，AE＝2x，

∵AO＝BO，OD∥AC，

∴BD＝CD，

∴AC＝2OD＝6x，

∴EC＝AE+AC＝2x+6x＝8x，

∵ED＝DC，DH⊥EC，

∴EH＝CH＝4x，

∴AH＝EH﹣AE＝4x﹣2x＝2x，

∴AE＝AH，

∴A是EH的中点；

（3）解：如图，设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，

∵EF＝EA，

∴∠EFA＝∠EAF，

∵OD∥EC，

∴∠FOD＝∠EAF，

则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，

∴DF＝OD＝r，

∴DE＝DF+EF＝r+2，

∴BD＝CD＝DE＝r+2，

在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，

∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，

∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，

∴BF＝BD＝r+2，

∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，

∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，

∴△BFD∽△EFA，

∴

∴

解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），

经检验地，r＝1+时，，故根成立

综上所述，⊙O的半径为1+．