Question

如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E，∠B=30°，求sin∠AOC=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；首先求出∠GAC=60°，分别表示出BC、CG的长度，进而求出BG、OG的长度，即可解决问题．

解答：解：如图，连接AD；过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G；
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，而BD=CD，
∴AB=AC，∠ACB=∠B=30°，
∴∠GAC=30°+30°=60°；
设⊙O的半径为1，则AB=2；
∴AD=1，BD=CD=

3

，
∴BC=2

3

；在直角△BCG中，
∵∠B=30°，
∴CG=

1

2

BC=

3

，BG=

3

CG=3，
∴OG=3-1=2；
由勾股定理得：OC²=4+3=7，
∴OC=

7

，
∴sin∠AOC=

3

7

=

21

7

，
故该题答案为

21

7

．

点评：该命题以圆为载体，以切线的性质、勾股定理、圆周角定理、直角三角形的边角关系等几何知识点的考查为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．