Question

（1）已知：如图（1），OA=OB，OC=OD，AD和BC相交于点P．证明：PA=PB．
（2）由（1）中的结论，你能想到不同于平时用尺规作角平分线的方法吗？试在图（2）中，用尺规作出∠MON的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,作图—基本作图

专题：

分析：（1）根据SAS证明△OAD≌△OBC，再由AAS证明△APC≌△BPD，从而得出PA=PB；
（2）用尺规作图法作角平分线即可．

解答：证明：（1）在△OAD和△OBC中，

OA=OB ∠AOD=∠BOC OD=OC

，
∴△OAD≌△OBC（SAS）．  
∴∠OAD=∠OBC．
∵OA=OB，OC=OD，
∴OA-OC=OB-OD，
即AC=BD．  
∵△OAD≌△OBC，
∴∠OAD=∠OBC，
在△APC和△BPD中，

∠APC=∠BPD ∠PAC=∠PBD AC=BD

∴△APC≌△BPD（AAS）．  
∴PA=PB；
（2）以O为圆心，一定长为半径画弧与角两边OM、ON分别交于点A、B，再以O圆心，一定长为半径画弧与角两边OM、ON分别交于点C、D，且OC＜OA．连结BC、AD交于点P，连结OP，OP即为∠MON的平分线．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，判断两个三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的判定定理：HL．