Question

在△ABC中，AB=AC，边BC的中点是D，作一等边△DEF，使E、F分别在边AB和AC上，问等边△DEF的边EF与BC平行吗？为什么？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：分类讨论：（1）△ABC是锐角三角形，（2）△ABC是钝角三角形，分别画出图形，求证EF∥BC即可解题．

解答：解：（1）若∠BDE=∠CDF=60°时，EF与BC平行，

理由：AB=AC，则∠B=C，
又BD=DC，∠BDE=∠CDF=60°
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴△DEF为等边三角形，∠DEF=60°，
∴∠DEF=∠BDE=60°
∴EF与BC平行．
（2）若∠BDE≠∠CDF时，等边三角形DEF的边EF与BC不平行，此时∠A=120°，

过D作DG⊥AB于G，在BA上依次取E，H两点，使GE=GH，连结AD，
则DE=DH，∠DEG=∠DHG，过H作HF∥BC交AC于F，显然EF与BC不平行；
∵AB=AC，
∴AH=AF，
∵在△AHD和△AFD中，

AH=AF ∠BAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AHD≌△AFD，（SAS）
∴DF=DH=DE，∠AFD=∠AHD，
又∵∠DHG+∠AHD=180°，
∴∠DEG+∠AFD=180°，
∴∠BAC+∠EDF=180°，
∴当∠BAC=120°时，∠EDF=60°，△DEF为等边三角形
即可作出等边三角形DEF，使边EF与BC不平行，此时∠A=120°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AHD≌△AFD是解题的关键．