（1）探究1：连接对角线AC，BD由三角形中位线定理及平行四边形的判定定理易得四边形EFGH为 （不需要证明）；

（2）探究2：观察猜想：

①当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形；

②当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为矩形．

（3）探究3：当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．

【题目】如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点．

（1）探求AO到OD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．
（Ⅰ）当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
（Ⅱ）如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值= ．

【题目】如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．

A. 抛一枚硬币，出现正面朝上

B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上

C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

【题目】如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y= 上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

【题目】下列命题：①垂线段最短；②同位角相等；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④内错角相等，两直线平行；⑤经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥如果=2，那么x=2．其中真命题有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

【题目】如图1，在中，是角平分线，是上的点, 相交于点.

(1) 如图2，若=90°，求证: ;

(2) 如图1，若=( 0°< <180°).

①求的值(用含的代数式表示);

②是否存在，使小于，如果存在，求出的范围,如果不存在，请说明理由.

【题目】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．

这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：4＋2 ＝（1＋ ）2；（答案不唯一）

（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．

【题目】操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
研究：

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．

【题目】如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．

（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）是探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；
（3）若tan∠F= ，求cos∠ACB的值．