A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④

例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点M是曲线y=（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；

（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；

（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

A.10B.12C.16D.18

A.4种B.6种C.8种D.9种

【题目】问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG
∵M是的中点，
∴MA=MC
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE=CE+ACBE=CE+AC；
（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为上一点，连接DB，∠ACD=45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4+2，BC=2，请求出AC的长．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；

（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

【题目】如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EFDE．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）连接AF交DE于点M，若 AD4，DE5，求DM的长．

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（1，m）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在直线OA上，且满足PA=2OA，直接写出点P的坐标．