“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．

任务一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．

（1）请直接写出CG的长是______．

（2）如图2，当矩形AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系．

（3）当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．

任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG．“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系．

（4）如图5，当AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系．

问题情境

在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．

操作发现

以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．

（1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；

继续探究

（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点．

①求证；

②求点的坐标．

拓展探究

（3）如图①，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

在数学中，当问题的条件不够时间，常添加辅助线构成新图形，形成新关系，建立已知与未知的桥梁，从而把原问题转化为易于解决的问题．在著名美籍匈牙利数学教波利亚所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：试作一个三角形，使它的三边长分别是各条中线长的三分之一，解决这个问题的步骤如下：

第一步，如图1，己知的三条中线，和相交于点，则有．

下面是该结论的部分证明过程：

证明：如图1，过点作的平分线，交的延长线于点，则．

又，

∴．

∴．

∵点是的中点，

∴．

……

第二步，同理可以证明：．

第三步，如图2，取BM的中点，连接.则的三边长分别是各条中线长的三分之一．

任务：（1）请在上面第一步中证明过程的基础上完成对结论的证明；

（2）请完成第三步的结论的证明；

（3）请直接写出图2中与的面积比：_______．

【题目】从共享单车，共享汽车等共享出行到共享充电宝，共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，越来越多的企业与个人成为参与者与受益者．小宇和小强分别对共享经济中的“共享出行”和“共享知识”最感兴趣，他们上网查阅了相关资料，顺便收集到四个共享经济领域的图标，并将其制成编号为，，，的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片分别用它们的编号，，，表示）

（1）当降价0.2元时，平均每月销售胶带______个；

（2）摊主要想平均每月赢利180元，且尽可能让利与顾客，应该如何定价？

（3）在（2）的条件下，每个胶带的利润率是______．

A. 若 AD 平分∠BAC，则四边形 AEDF 是菱形

B. 若 BD＝CD，则四边形 AEDF 是菱形

C. 若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形

D. 若 AD⊥BC，则四边形 AEDF 是矩形

（1）当∠1=∠2时，求证：∠DOQ=∠DPC；

（2）当（1）的条件下，求证：DQ·PC=BD·DO；

（3）如果点P由点B向点C移动，每秒移动2个单位，同时点Q由点D向点A移动，每秒移动1个单位，设移动的时间为t秒，是否存在某一时刻，使得△BOP为直角三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．

【题目】如图，二次函数的图像与轴相交于点A(-1，0)，B(4，0)，与轴相交于点C．

（1）求该函数的表达式；

（2）若点P（2，m）为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC，求线段PQ的长；

（3）在（2）的条件下，点M为该函数图象上一点，且∠MAP=45°，求点M的坐标．

已知该运动服的进价为每件60元，设售价为元．

（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接写出结果）

（2）设销售该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）当四边形AECF是菱形时，求AF的长．